✅«Начала» Евкліда

Головна праця Евкліда – «Начала» (або «Елементи», в оригіналі «Стойхейа»). «Начала» Евкліда складаються з 13 книг. Пізніше до них були додані ще дві книги.

Перші шість книг «Почав» присвячені геометрії на площині – планіметрії. У філософсько-теоретичному відношенні, в плані філософії математики особливо цікава перша книга, яка починається з визначень, постулатів і аксіом, вчення про які було закладено Аристотелем.

Евклід визначає точку як те, що не має частин. Лінія – довжина без ширини. Кінці лінії – точки. Пряма лінія одно розташована стосовно точок на ній. Поверхня є те, що має тільки довжину і ширину. Кінці поверхні – лінії. Плоска поверхня є та, яка одно розташована щодо прямих на ній. І так далі. Такі визначення Евкліда.

Далі йдуть постулати, тобто те, що допускається. Припустимо, що від усякої точки до всякої точки можна провести пряму лінію, що обмежену пряму можна безперервно продовжити по прямій, що з будь-якої точки, прийнятої за центр, можна всяким розчином циркуля описати коло, що всі прямі кути рівні між собою і що якщо пряма , падаюча на дві прямі, утворює внутрішні і по одну сторону кути, менші двох прямих, то, будучи продовженими, ці дві прямі рано чи пізно зустрінуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих.

Аксіоми Евкліда говорять про те, що величини, рівні третій величині, рівні між собою, що якщо до рівного додати рівні, то й цілі будуть рівними, і т. д.

Далі, у першій же книзі «Начал» Евкліда, розглядаються трикутники, паралельні лінії, паралелограми. Друга книга «Почав» містить геометричну алгебру: числа і відносини чисел виражаються в просторових величинах і в їх просторових же відносинах. Третя книга «Почав» досліджує геометрію кола та кола, четверта – багатокутники. П’ята книга дає теорію пропорцій як для сумірних, так і для несумірних величин. У книзі VI Евклід докладає ці теорії до планіметрії. Книги VII – X містять теорію чисел, причому X книга трактує ірраціональні лінії. XI, XII і XIII книги «Почав» присвячені стереометрії, при цьому в XII книзі застосовується метод вичерпання.

У строгому сенсі слова Евкліда не можна вважати «батьком геометрії». Свої «Начала» були у Гіппократа Хиосськом у V ст. до н. е. У IV ст. до н. е. «Начала» були у Леона, і у Феудія Магнесійского. Метод вичерпання застосовував Евдокс Кнідський, можливий вчитель Евкліда по Академії. Проблемою ірраціональності займалися піфагорієць Гиппас Метапонтскій, Феодор Кіренський, Теетет Афінський … Однак Евклід – не простий передавач зробленого до нього математиками. У «Засадах» Евкліда ми бачимо завершення математики як стрункої науки, що виходить із визначень, постулатів і аксіом і побудованої дедуктивно. Математика Евкліда – вершина давньогрецької дедуктивної науки. Вона різко відрізняється від близькосхідної математики з її практичною приблизною рецептурних. Не випадково «Начала» Евкліда по їх логічного стрункості, ясності, витонченості і закінченості порівнюють з афінським Парфеноном.

Правда, існувала легенда, що сам Евклід – не єдиний автор дійшли до нас «Почав», що він сам дав лише догматичний виклад матеріалу, без доказів, що докази були додані вищезазначеним Теоном Олександрійським. Теона Олександрійський дійсно займався проблематикою «Почав». Але не він один. Цим же займалися і Прокл, і Сімпліцій. «Начала» Евкліда були частково переведені на латинську мову Цензорину і Боецій. Але ці їхні переклади загубилися. На Заході аж до кінця XII в. перебували в обігу тези Евкліда без доказів.

Що стосується Близького Сходу, то там Евклід був відомий в перекладах з грецької на сирійський, а з сирійського – на арабську. Першим арабським філософом, який зацікавився Евклидом, був, мабуть, аль-Кінді (IX ст.). Його інтерес обмежувався евклідової «Оптикою». Однак потім пішла маса перекладів і коментарів на «Начала». Ці арабські тексти були перекладені в XIII в. на латинську мову. Перший латинський переклад з грецького оригіналу був делан в Європі в 1493 р і видрукуваний 1505 р у Венеції. Але до 1572 року, коли Федеріко Коммандіно у своєму латинському перекладі виправив цю помилку, Евкліда-математика плутали з Евклідом Мегарікой.

Математична програма Евкліда

Для всього подальшого розвитку науки аж до наших днів найбільше значення мали «Початки геометрії» Евкліда. Це перший математичний працю, що дійшов до нас від стародавніх греків повністю і, мабуть, після Біблії найбільше вивчалася і найбільше число раз видана книга. Жодна наукова книга не мала такої долі, як евклідові «Начала». За два з гаком тисячоліття ця книга так і не стала надбанням історії. Навіть сучасні підручники здебільшого залишаються викладом «Почав». Традиція Евкліда дотепер тяжіє над сучасним шкільною освітою, а для професійного математика ця книга все ще володіє чарівним чарівністю. Аж до середини XIX в. працю Евкліда вважався абсолютно непорушним фундаментом геометрії.

Чим же можна пояснити цю «живучість» евклідових «Почав»? Мабуть, тим, що «Начала геометрії» – це підсумок розвитку всієї грецької математики, в свою чергу, є в якійсь мірі лише ланкою в безперервній математичної традиції. Виклад Евкліда будується в дедуктивно-аксіоматичної формі, у вигляді суворо логічних висновків теорем із системи визначень, постулатів і аксіом. Причому теореми виводяться з точно сформульованих фізичних гіпотез і математичних постулатів. Евклід слід склалася в Платоновой Академії традиції: не посилатися на досліди і на експериментальні пристрої. Дотепер його праця залишається зразком і ідеалом справжньої науковості, справжньої науки.

Структурно «Начала» складаються з 13 книг. У перших чотирьох – розглядається геометрія на площині (зокрема, перша книга включає визначення таких понять, як точка, лінія, пряма лінія, поверхня, фігура і т.д .; п’ять постулатів і 9 аксіом); у п’ятій книзі викладається теорія несумірних Евдокса – попередника Евкліда; в шостий – застосування її до подоби багатокутників; книги з сьомої по дев’яту присвячені теорії чисел; в десятому – викладається теорія ірраціональних чисел Теетет; в одинадцятій – розглядаються основи стереометрії; дванадцята – присвячена методу вичерпування Евдокса, за допомогою якого доводяться теореми; в тринадцятої книзі узагальнені результати досліджень Теетет п’яти правильних багатогранників.

Слід зазначити, що, незважаючи на дедуктивно-аксіоматичну форму «Почав», все ж вони не мають строгого логічного характеру. Евклід у своїй системі часто використовує не логічні засоби, а наочні уявлення. На емпіричний (наочний) характер доказів Евкліда, які традиційно вважалися взірцем математичної дедукції, вперше звернув увагу І. Кант. В

Загалом «Начала» – це синтез логіки і міркувань, заснованих на наочних уявленнях. Евклідові гіпотези (постулати і аксіоми) являють собою «ідеалізації емпіричних даних». Вихідні та похідні геометричні об’єкти суть емпіричні схеми, дані у формі наочних описів.