Зміст:

1 Прямокутний трикутник – визначення та приклади
2 Урок геометрії 8 клас “Розв’язування прямокутних трикутників. Прикладні задачі”
3 Урок № 39 з геометрії у 8 класі із розділу « Розвязування прямокутних трикутників» на тему « Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника»

Прямокутний трикутник – визначення та приклади

Прямокутний трикутник є однією з найважливіших фігур у геометрії та є основою тригонометрії.

Прямокутний трикутник характеризуються тим, що має кут 90 градусів. Сторони, які утворюють прямий кут, називають катетами, а сторону, протилежну до прямого кута – гіпотенузою.

В даній публікації ми обговоримо визначення прямокутного трикутника, його властивості та розглянемо кілька прикладів та практичних запитань.

Навігація по сторінці.

Що таке прямокутний трикутник?

Прямокутний трикутник – це трикутник, один з кутів якого дорівнює 90 градусів.

Прямокутні трикутники мають три сторони: «основу», «гіпотенузу» та «висоту». Кут між основою та висотою дорівнює 90 градусів. Цей трикутник є дуже важливою фігурою в математиці, оскільки він дає початок теоремі Піфагора.

Нагадаємо, що теорема Піфагора говорить, що квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин інших сторін (катетів). Наприклад, у прямокутному трикутнику ABC зображеному вище, BC – гіпотенуза, оскільки це сторона, протилежна куту 90 градусів, а AB та AC – катети (висота і основа).

Властивості прямокутного триктуника.

Ось найважливіші властивості прямокутних трикутників:

один з кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює 90°;
сторона протилежна до прямого кута – гіпотенуза;
гіпотенуза – це завжди найдовша сторона;
сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°;
якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи;
якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°;
медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи;
медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника;
якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром цього кола;
у прямокутному трикутнику сума катетів дорівнює сумі діаметрів вписаного й описаного кіл;
якщо один із кутів дорівнює 90°, а кожен з двох інших – 45°, то трикутник називається рівнобедреним прямокутним трикутником (сторони, прилеглі до кута 90°, рівні).

Приклади задач та практичних запитань на тему «Означення і властивості прямокутного трикутника».

Приклад 1: що таке прямокутний трикутник у геометрії?

Трикутник, у якого мір одного з кутів дорівнює 90 градусів, називається прямокутним трикутником.

Приклад 2: як знайти кут прямокутного трикутника?

Розрахувати кути прямокутного трикутника дуже просто. Один з його кутів є прямим, тобто дорівнює 90°.

Тепер, якщо відомий ще один кут, то відсутній кут можна легко обчислити за допомогою теореми про суму внутрішніх кутів трикутника (стверджує, що сума кутів будь-якого трикутника завжди дорівнює 180°).

Приклад 3: чи може прямокутний трикутник мати дві рівні сторони?

Так, прямокутний трикутник може мати дві рівні сторони. Найбільшу сторону прямокутного трикутника називають гіпотенузою, а дві інші сторони можуть дорівнювати або не дорівнювати одна одній.

Прямокутний трикутник, який має дві рівні сторони, називається рівнобедреним прямокутним трикутником.

Приклад 4: чи можуть величини 8 см, 15 см і 17 см бути розмірами сторін прямокутного трикутника?

Зазначимо, що перевірити, чи задані числа утворюють три сторони прямокутного трикутника ми можемо за допомогою теореми Піфагора. В результаті матимемо:

Таким чином, задані числа є трійкою Піфагора, тобто, можуть бути розмірами сторін прямокутного трикутника.

Приклад 5: катети прямокутного трикутника рівні 3 см і 4 см. Знайти радіус вписаного та описаного кола.

Зазначимо, що радіус описаного кола знайти найлегше – він рівний половині гіпотенузи. Обчислюємо її довжину за теоремою Піфагора:

Далі, скориставшись властивістю, яка говорить, що у прямокутному трикутнику сума катетів дорівнює сумі діаметрів вписаного й описаного кіл матимемо:

Таким чином, радіус вписаного та описаного кола прямокутного трикутника дорівнює 1 см та 2.5 см відповідно.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про прямокутний трикутник? Перегляньте ці сторінки:

Урок геометрії 8 клас “Розв’язування прямокутних трикутників. Прикладні задачі”

а 2 = 169 – 144; а 2 = 25; а = 5 см . Кути знайдемо за тригонометричними функціями:

; . Тоді за властивістю кутів прямокутного трикутника: .

Відповідь: 23°, 67°, 5 см .

Кути знайдемо за тригонометричними функціями:

. Тоді за властивістю кутів прямокутного трикутника: . Г іпотенузу знайдемо так: с =а : , с = 4 : 0,276 см.

Відповідь: 16°, 74°, 14,5 см .

№ 620

Дано: ABCD – трапеція, AB = CD, AD = 12 см ,

B C = 8 см , , СК – висота.

Оскільки трапеція рівнобічна, то

KD = , KD = . Тоді з

прямокутного трикутника CKD: CD = KD : , CD = 2 : ; CD = см; СК = КD = 2 см (бо якщо то за властивістю кутів прямокутного трикутника )

Відповідь: 2 см і см.

№ 622.

Дано: ABCD – ромб, ВС = а,

За властивістю діагоналей ромба: АС – бісектриса , т.О – середина АС і BD, . Тоді з прямокутного трикутника АОВ (АВ = а):

ВО = АВ  = а, АО = АВ  = . Звідси BD = a, AC = .

ІІІ. Актуалізація опорних знань

Розминка «Вірю – Невірю»

Чи правильно, що теорема в перекладі з грецької мови означає ”вистава” ? (так)
Чи правильно, що центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника є серединою гіпотенузи? ( так)
Чи правильно, що sin 60 о = 0,5? (ні)
Чи правильно, що sin 2 В + cos 2 В = 1? (так)
Чи правильно, що гіпотенуза дорівнює добутку катета на синус протилежного кута? (ні)

IV . Оголошення теми і мети уроку

Сьогодні ви переконаєтесь у доцільності і корисності вивчення прямокутних трикутників, розглянувши задачі, які ставить нам життя.

V . Розв ’ язування задач

№1. Висоти двох вертикальних стовпів дорівнюють 5м і 12,5м. Відстань між ними 10м. Знайти найменшу довжину троса, яким можна з’єднати верхні кінці стовпів?

№2. Знайти висоту дерева, якщо з відстані 5 метрів людина бачить його під кутом 45 градусів.

№3. Ширина будинку 7 м , довжина крокви 4,5 м . Під яким кутом крокви нахилені до стелі ?

Дано: АС = 7 м , АВ = ВС = 4,5 м . Знайти кут А.

№4. Вершину дерева, віддаленого від даного пункту на 16 м , видно під кутом 16 º до горизонту , а вершину другого дерева віддаленого від цього самого пункту на 24 м , видно під кутом 19 º . Яке дерево вище і на скільки?

Дано: АС = 24 м , КС = 16 м , .

АВ=АС tg β ; КМ=КС tg α .

АВ=24 · 0,344=8,256м. КМ=16 · 0,287=4,592м

№5. Ескалатор метрополітену має 17 сходинок від підлоги наземного вестибюля до підлоги підземної станції. Ширина сходинок 40 см , висота 30 см . Визначте: а) довжину всіх сходинок; б) кут їх нахилу; в) глибину станції по вертикалі.

У кожному маленькому прямокутнику на рисунку знайдемо довжину гіпотенузи: см. Таких відрізків 17. Отже, довжина сходинок 50  17 = 850 (см) = 85 дм. Глибина станції по вертикалі: 30  17 = 510 (см) = 51 дм. Тоді кут нахилу сходинок знайдемо так: ; α = 37°.

Відповідь: 85 дм, 51 дм, 37°.

VI . Підсумок уроку

VII . Домашнє завдання

Виконати: №616, 618, 624

Урок № 39 з геометрії у 8 класі із розділу « Розвязування прямокутних трикутників» на тему « Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника»

а) У 8 класі центральна фігура прямокутний трикутник, то повторимо все, що знаємо про прямокутний трикутник.

– Який трикутник називається прямокутним?

– Як називаються сторони прямокутного трикутника?

– Де лежить гіпотенуза?

– Яка основна теорема для прямокутного трикутника?

(Всі до дошки): дано катети 7 см і 24см.

– Що називають синусом гострого кута прямокутного трикутника?

– Що називають косинусом гострого кута прямокутного трикутника?

– Що називають тангенсом гострого кута прямокутного трикутника?

– Що називають котангенсом гострого кута прямокутного трикутника?

б)Перевірка домашнього завдання: Вдома ви повинні були скласти задачу, в якій було відомо дві сторони прямокутного трикутника . Треба було знайти для вашого трикутника синус, косинус, тангенс та котангенс даного гострого кута.

Всі йдуть до дошки, креслять трикутник і розв’язують свою складену вдома задачу.

ІІ. Засвоєння нових знань.

Ми почали розділ « Розв’язування прямокутних трикутників»

Це центральна тема геометрії 8 класу. Ця тема потрібна буде не тільки в подальшому вашому навчанні, але й в майбутньому житті.

2. Проблемна ситуація: Наведу приклад із свого особистого життя. Коли мої діти надумали будувати будинок , стало питання, який буде дах та якою довжиною закупити крокви, щоб дах був красивим. Для цього, потрібно було обчислити сторони прямокутного трикутника за стороною (половиною ширини хати )та відомим гострим кутом , під яким хотілось поставити дах. ( малюнок на дошці). Ширина будинку 8 м, кут 40°. Знайти висоту даху й довжину крокви.

Довелось дати їм урок, який сьогодні у нас з вами за програмою.

Записуємо тему уроку : Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Ми повинні виявити, чи можна знайти сторону прямокутного трикутника через іншу сторону цього трикутника і гострий кут. Якщо можна, то як?

Але головна розвиваюча мета нашого уроку : навчитись спостерігати, порівнювати, запам’ятовувати, застосовувати ці навички при засвоєнні нових знань і розв’язуванні задач.

3. Виводимо формули:( формула,це рівність, яка показує, що знаходимо і як знаходимо) З чого почати? Чи є у нас формули , які пов’язують катет і гіпотенузу, два катети? Так, це синус, косинус, тангенс і котангенс. Отже з них ми можемо утворити нові, потрібні нам формули. Що для цього треба знати? Основні властивості рівностей, які ми вже знаємо. Повторимо їх. Сьогодні нам буде потрібна друга властивість рівностей : обидві частини рівності можна помножати на одне й те саме число, рівність не порушиться.

а)Один учень ( Склярова Леся) виводить першу формулу, тоді другу, тоді записує обидві, видаляє запис на дошці, виводить третю, записує всі три, знову видаляє запис на дошці, виводить четверту, записує всі чотири потім третю, записує всі три, виводить четверту видаляє запис, записує всі чотири і закінчує свою роботу.

б) Мальцев повторює процес, виводить всі формули, і записує всі чотири наприкінці так само як Леся.

в). Павлюк записує формули без виводу

г). Письменський виводить формули для гіпотенузи. Записує всі формули

д). Складаємо опорний конспект:

Дві формули для протилежного катета, дві формули для прилеглого катета і дві для гіпотенузи. Оформлення ОС у кожного своє.

ІІІ. Первинне закріплення знань.

1. Складаємо правила для знаходження невідомих сторін прямокутного трикутника: – як знайти протилежний катет через гіпотенузу; через прилеглий катет і т.д.

2. Розв’язуємо задачі:

1.Дано ; с =10. , α = 40° . Знайти а, в-?

2. Дано : а = 8, β= 70° Знайти: с -? а -?

ІV.Д/з №№ 721. Вивчити формули. Розв’язати №№

Відкритий урок № 39 з геометрії у 8 класі із розділу

« Розвязування прямокутних трикутників»

на тему « Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника»

І. Актуалізація опорних знань учнів.

а) У 8 класі центральна фігура прямокутний трикутник, то повторимо все, що знаємо про прямокутний трикутник.

– Який трикутник називається прямокутним?

– Як називаються сторони прямокутного трикутника?

– Де лежить гіпотенуза?

– Яка основна теорема для прямокутного трикутника?

(Всі до дошки): дано катети 7 см і 24см.

– Що називають синусом гострого кута прямокутного трикутника?

– Що називають косинусом гострого кута прямокутного трикутника?

– Що називають тангенсом гострого кута прямокутного трикутника?

– Що називають котангенсом гострого кута прямокутного трикутника?

б)Перевірка домашнього завдання: Вдома ви повинні були скласти задачу, в якій було відомо дві сторони прямокутного трикутника та один гострий кут. Треба було знайти для вашого трикутника синус, косинус, тангенс та котангенс відомого гострого кута.

Всі йдуть до дошки, креслять тр – к і розв’язують свою задачу.

ІІ. Засвоєння нових знань.

Ми почали розділ « Розв’язування прямокутних трикутників»

2. Проблемна ситуація: Наведу приклад із свого особистого життя. Коли мої діти надумали будувати будинок , стало питання який буде дах та якою довжиною закупити крокви, щоб дах був красивим. Для цього, потрібно було обчислити сторони прямокутного трикутника за стороною (половиною ширини хати )та відомим гострим кутом , під яким хотілось поставити дах. ( малюнок на дошці). Ширина будинку 8 м, кут 40 . Знайти висоту даху й довжину крокви.

Довелось дати їм урок, який сьогодні у нас з вами за програмою.

Записуємо тему уроку : Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Але головна розвиваюча мета нашого уроку : навчитись спостерігати, порівнювати, запам’ятовувати, застосовувати ці навички при засвоєнні нових знань і розв’язуванні задач.

3. Виводимо формули: З чого почати? Чи є у нас формули , які пов’язують катет і гіпотенузу, два катети? Так, це синус, косинус, тангенс і котангенс. Отже з них ми можемо утворити нові, потрібні нам формули.

а)Один учень ( Склярова Леся) виводить першу формулу, тоді другу, тоді записує обидві , потім третю, записує всі три, виводить четверту, записує всі чотири.

б) Мальцев повторює процес, записує всі формули,