1.3: Симетрія кристалів

Часто ми цього не усвідомлюємо, але постійно живемо з симетрією. Симетрія – це послідовність, повторення чогось у просторі та/або в часі, як показано на прикладах нижче: малюнок стіни, пелюстки квітів, дві сторони метелика, послідовність ночі і дня, музичний твір тощо.

Симетрія шляхом повторення візерунків в настінному малюнку або в квітах. Малюнок стіни показує повторення перекладом. Квіти показують повторення обертаннями. Квітка зліва показує повторення навколо осі обертання порядку 8 (8 однакових пелюсток навколо осі обертання). Квітка посередині показує вісь обертання порядку 5 (два різних сімейства пелюсток, які розподілені навколо осі обертання). Крім того, кожна пелюстка в обох квітках показує площину симетрії, яка ділить його на дві однакові частини (приблизно), так само, як це відбувається з метеликом, зображеним праворуч. Якщо читача дивує той факт, що ми говоримо, що дві частини, розділені площиною симетрії (дзеркалом), є лише «приблизно» однаковими, це тому, що вони насправді не ідентичні; вони не можуть бути накладені, але це питання, яке буде пояснено в іншому розділі.

Симетрія повторюваних подій: День – Ніч – День

Симетрія в музиці. Фрагмент з «Шість спільних мелодій» Бартока.

(Діаграма внизу представляє симетризацію показаної вище)

Слово «Симетрія», ретельно написане кілька спотвореними літерами, показує дворазову вісь (поворот на 180 градусів), перпендикулярну екрану.

Наступне речення також служить для ілюстрації поняття симетрії:

ЧОЛОВІК, ПЛАН, КАНАЛ: ПАНАМА

де, якщо ми забудемо коми і двокрапку, вона стає:

АМАНА-ПЛАНАКАНСЬКИЙ ПАНАМА

які можна прочитати справа наліво з точно таким же значенням, як і вище. Це випадок, подібний до «паліндромних» чисел (232 або 679976).

Є багато посилань, в яких читач може знайти інформацію про поняття симетрії, і ми вибрали деякі з них: симетрія і форма простору, деякі інші в контексті кристалографічних понять, деякі з декоративними візерунки, або в розрізі мінералів. Існує навіть міжнародне товариство з вивчення симетрії.

Основні знання про морфологію кристалів, елементи симетрії та їх поєднання для створення повторюваних об’єктів у просторі були добре встановлені між 17 та 19 століттями, як зазначено в інших місцях на цих сторінках.

Зокрема, в кінцевих об’єктах існує ряд операцій ( елементів симетрії ), що описують повторення. У кресленні стіни (показано вище) знаходимо поступальні операції (мотив повторюється перекладом). Повторення пелюсток у квітках показує нам обертальні операції (мотив повторюється обертанням) навколо осі симетрії (або осі обертання ). І, хоча і не зовсім, симетрія, показана у фразі або в музичному фрагменті (показано вище), змушує нас розглянути інші операції симетрії, відомі як площини симетрії ( площини відображення , або дзеркальні площини ); та ж операція, яка відбувається при погляді в дзеркало. Так само, наприклад, якщо ми подивимось на зв’язок між тривимірними об’єктами на деяких зображеннях, показаних нижче, ми виявимо новий елемент симетрії, який називається центром симетрії (або центром інверсії ), яка є уявною точкою між об’єктами (або всередині об’єкта), як показано на деяких малюнках нижче.

Взагалі кажучи, і беручи до уваги, що чисті поступальні операції строго не розглядаються як операції симетрії, можна сказати, що кінцеві об’єкти можуть містити себе, або можуть повторюватися (за винятком перекладу) наступними елементами симетрії:

• Операція ідентичності є найпростішим елементом симетрії з усіх — вона нічого не робить! Але це важливо, тому що всі об’єкти принаймні мають елемент ідентичності, і є багато об’єктів, які не мають інших елементів симетрії.

• Відображення – це операція симетрії, яка відбувається, коли ми ставимо об’єкт перед дзеркалом. Зображення знаходиться перпендикулярно площині відбиття і рівновіддалене від цієї площини, на протилежній стороні площини. Отриманий предмет може бути помітним або невідрізним від оригіналу, нормально помітний, так як вони не можуть бути накладені. Якщо отриманий об’єкт не відрізняється від оригіналу, це тому, що площина відображення проходить через об’єкт.

• Операція інверсії відбувається через одну точку, яка називається центром інверсії. Кожну частину предмета переміщають по прямій через центр інверсії до точки на рівній відстані від центру інверсії. Отриманий предмет може бути помітним або невідрізним від оригіналу, нормально помітний, так як вони не можуть бути накладені. Якщо отриманий об’єкт не відрізняється від оригіналу, це тому, що центр інверсії знаходиться всередині об’єкта.

• Операції обертання (як належні, так і неправильні) відбуваються щодо лінії, яка називається віссю обертання. а)Правильне обертання здійснюється обертанням об’єкта на 360°/ п, де n – порядок осі. Отриманий повернутий об’єкт завжди не відрізняється від оригіналу. б)Неправильне обертання здійснюється обертанням об’єкта на 360°/ п з подальшим відображенням через площину, перпендикулярну осі обертання. Отриманий предмет може бути помітним або невідрізним від оригіналу, нормально помітний, так як вони не можуть бути накладені. Якщо отриманий об’єкт не відрізняється від оригіналу, це тому, що неправильна вісь обертання проходить через об’єкт.

Крім назви елементів симетрії, ми використовуємо графічні та числові символи для їх представлення. Наприклад, вісь обертання порядку 2 (двійкова вісь) представлена числом 2, а площина відображення – буквою m.

Зліва: Багатогранник, що показує двократну вісь обертання (2), що проходить через центри верхнього та нижнього країв

Праворуч: багатогранник, що показує площину відбиття (m) , яка пов’язує (як дзеркало) верхню частину до низу

Руки та молекулярні моделі, пов’язані подвійною віссю (2), перпендикулярною площині креслення

Руки та молекулярні моделі, пов’язані через дзеркальну площину (м), перпендикулярну площині креслення

Руки (ліва і права) пов’язані через центр симетрії

Два об’єкти, пов’язані центром симетрії та багатогранником, що показують центр симетрії в його центрі

Асоціація елементів обертання з центрами або площинами симетрії породжує нові елементи симетрії, звані неправильними обертаннями.

Ліворуч: Чотирикратна неправильна вісь передбачає обертання на 90° з подальшим відображенням через дзеркальну площину, перпендикулярну осі. (Анімація взята з М. Кастнера, Т. Медлок і К. Браун, Univ. з Бакнелла)

Праворуч: вісь неправильного обертання, показана вертикально, в кристалі сечовини. Значення показаних числових трійок буде розглянуто в іншому розділі.

Поєднуючи осі обертання і дзеркальні площини з характерними перекладами кристалів (які наведені нижче), з’являються нові елементи симетрії, з деякими «ковзаючими» складовими: гвинтовими осями (або гелікоїдальними осями ) і ковзання площин .

Двократна вісь гвинта. Вісь гвинта складається з обертання з подальшим перекладом

Ковзання площині. Площина ковзання складається з відображення, за яким слідує переклад

Двократна вісь гвинта прикладається до лівої руки. Рука обертається на 180º і переміщує половину трансляції решітки в напрямку осі гвинта і так далі. Зверніть увагу, що рука завжди залишається як ліва рука.

Ковзання площину.наноситься на ліву руку. Ліва рука відбивається на площині, генеруючи праву руку, яка рухає половину трансляції решітки в напрямку операції ковзання.

Елементи симетрії типів центр або дзеркальна площина своєрідно стосуються об’єктів; так само, як наші дві руки пов’язані одна з іншою: вони не є супернепроникними. Об’єкти, які самі по собі не містять жодного з цих елементів симетрії (центр або площина), називаються хіральними і їх повторення через ці елементи (центр або площину) створюють об’єкти, які називаються енантіомерами з повага до оригінальних. Дзеркальне відображення однієї з наших рук – це енантіомер тієї, яку ми ставимо перед дзеркалом. Щодо хіральності кристалів та їх будівельних одиниць (молекулярних чи ні), просунуті читачі також повинні проконсультуватися зі статтею Говарда Д. Флака, яку можна знайти за цим посиланням.

Дзеркальне відображення будь-якої з наших рук – це енантіомер іншої руки. Вони є об’єктами, які не надмірні, і оскільки вони не містять (самі по собі) центрів симетрії або площин симетрії, називаються хіральними об’єктами.

Хіральні молекули мають різні властивості, ніж їх енантіомери, і тому важливо, щоб ми могли їх диференціювати. Правильне визначення абсолютної конфігурації або абсолютної структури молекули (диференціація між енантіомерами) може бути здійснено безпечним способом лише за допомогою рентгенівської дифракції, але це буде пояснено в іншому розділі

Таким чином, будь-який кінцевий об’єкт (наприклад, кварцовий кристал, стілець або квітка) показує, що певні його частини повторюються операціями симетрії, які проходять через точку об’єкта. Цей набір операцій симетрії відомий як група точок симетрії . Просунутий читач також має можливість відвідати приємну роботу над елементами симетрії групи точок , запропоновану за цими посиланнями:

Хороший загальний веб-сайт про симетрію в кристалографії пропонує кафедра хімії та біохімії Університету Оклахоми.

Крім того, читач може завантажити (абсолютно безкоштовно вірус. ) і запустити на власному комп’ютері цю програму Java, яка, як вступ до симетрії багатогранників, розроблена Жерве Шапуї та Ніколасом Шені (École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Швейцарія).

Симетрія в кристалах

У кристалах осі симетрії (осі обертання) можуть бути тільки дворазовими (2), триразовими (3), чотирикратними (4) або шести- fold (6), залежно від кількості разів ( порядку обертання ), що мотив може бути повторений операцією обертання, перетворюючись у новий стан, не відрізняється від початкового стану. Таким чином, вісь обертання порядку 3 (3-кратна) виробляє 3 повторення (копії) мотиву, по одному кожні 120 градусів (= 360/ 3) обертання. Якщо читач задається питанням, чому в кристалах можуть зустрічатися тільки осі симетрії порядку 2, 3, 4 і 6, а не 5 -, 7 -fold і т.д., рекомендуємо пояснення, наведені в іншому розділі.

Неправильні обертання (повороти з подальшим відображенням через площину, перпендикулярну осі обертання) позначаються порядком обертання, причому штанга вище цього числа.

Осі гвинтів (або гелікоїдальні осі, тобто осі симетрії, що передбачають обертання з подальшим перекладом уздовж осі) представлені порядком обертання, з доданим підіндексом, який кількісно визначає переклад вздовж осі. Таким чином, гвинтова вісь типу 6 ₂ означає, що в кожному з шести обертань відбувається пов’язаний переклад 2/6 осі елементарної осі в цьому напрямку.

Дзеркальні площини зображені буквою m.

Площини ковзання (дзеркальні площини, що включають відображення і переклад паралельно площині) представлені буквами a, b, c, n або d, в залежності від того, якщо переклад пов’язаний з відображення паралельно сітчастим перекладам (a, b, c), паралельно діагоналі сітчастої площини (n), або паралельно діагоналі одиничної комірки (d).

Букви та цифри, які використовуються для представлення елементів симетрії, також мають еквівалентність деяким графічним символам.

Але щоб продовжувати говорити про симетрію в кристалах, необхідно ввести і запам’ятати фундаментальний аспект, який визначає кристали, який є періодичним повторенням шляхом перекладу мотивів (атомів, молекул або іонів). Це повторення, яке проілюстровано у двох вимірах сірими колами на малюнку нижче, походить від математичної концепції решітки, яку ми побачимо правильніше в іншому розділі.

У періодичному і повторюваному наборі мотивів (сірі кола на двовимірному малюнку вище) можна знайти нескінченні основні одиниці ( одиничні осередки ), значно різні за зовнішнім виглядом і специфікацією, повторення яких породжує одну і ту ж математичну решітку. Зверніть увагу, що всі представлені одиничні клітинки, розділені чорними лініями, містять загалом одне коло всередині них, оскільки кожна вершина містить певну частку кола всередині комірки. Вони називаються примітивними клітинами . Однак осередок, розділений червоними лініями, містить в цілому два сірих кола всередині (один відповідає вершинам і повний в центрі). Цей тип одиничної клітини прийнято називати непримітивними .

Періодичне повторення, яке є характеристикою внутрішньої структури кристалів, представлено сукупністю перекладів в трьох напрямках простору, завдяки чому кристали можна розглядати як укладання одного і того ж блоку в трьох вимірах. Кожен блок, певної форми і розміру (але всі вони однакові) називається одиничною клітиною або елементарною клітиною . Його розмір визначається довжиною трьох її ребер ( a, b, c ) і кутами між ними (альфа, бета, гамма: α, β, γ ).

Укладання одиничних осередків, що утворюють октаедричний кристал, і параметри, що характеризують форму і розмір елементарної клітини (або одиничної клітини)

Як уже згадувалося вище, всі елементи симетрії, що проходять через точку кінцевого об’єкта, визначають загальну симетрію об’єкта, яка відома як симетрія точкової групи об’єкта. Очевидно, що елементи симетрії, які передбачають будь-які переклади решітки (площини ковзання та осі гвинтів), не є точковими групами операцій.

Існує безліч груп точок симетрії , але в кристалах вони повинні відповідати кристалічної періодичності (поступальної періодичності). Так, в кристалах можливі тільки обертання (осі симетрії) порядку 2, 3, 4 і 6, тобто допускаються тільки обертання 180º (= 360/2), 120º (= 360/3), 90º (= 360/4) і 60º (= 360/6). Див. також теорему про кристалографічне обмеження. Тому в кристалічному стані речовини допускаються тільки 32 точкові групи . Ці 32 точкові групи також відомі в кристалографії як 32 класи кристалів .

точкова група. періодичність поступального кристала = 32 класи кристалів

Мотив, представлений єдиним цеглою, також може бути представлений точкою решітки. Він показує точкову симетрію 2 мм

Наступні три таблиці показують анімовані малюнки про 32 класах кристалів, згруповані за термінами так званої кристалічної системи (ліва колонка), режиму класифікації з точки зору мінімальної симетрії, як показано нижче.

Ці інтерактивні анімовані малюнки потребують середовища Java і тому не будуть працювати з усіма браузерами

Це неінтерактивні анімовані GIF-файли, отримані з анімації Java, що з’являються в http://webmineral.com.

Вони будуть працювати з усіма браузерами

Луїс Касас та Євгенія Естоп з факультету геології Барселонського університету пропонують 32 PDF-файли, які інтерактивним способом дозволяють дуже легко грати з групами точок 32 через симетрію кристалічних твердих тіл.

Крім того, читач може завантажити та запустити на власному комп’ютері цю програму Java, яка, як вступ до симетрії багатогранників, була розроблена Жерве Шапуї та Ніколасом Шені (École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Швейцарія).

Крім того, зацікавлений читач може інтерактивно переглядати деякі типові багатогранники 7 кристалічних систем через Іспанський геммологічний інститут.

З 32 класів кристалів лише 11 містять операторний центр симетрії , а ці 11 центросиметричних класів кристалів відомі як групи Лауе .

клас кристала. центр симетрії = 11 груп Лауе

Крім того, режими повторення шляхом перекладу в кристалах повинні бути сумісні з можливими групами точок (32 класи кристалів), і саме тому ми знаходимо лише 14 типів поступальних решіток, сумісних з класами кристалів . Ці типи решіток (режими поступального повторення) відомі як решітки Браве (ви можете побачити їх тут). Поступальну симетрію впорядкованого розподілу тривимірних об’єктів можна описати багатьма типами решіток, але завжди є одна з них більше підходить об’єкту, тобто: та, яка найкраще описує симетрію об’єкта. Оскільки самі решітки мають свій розподіл елементів симетрії, ми повинні підігнати їх до елементів симетрії конструкції.

кристалічна поступальна періодичність. 32 класи кристалів = 14 решіток Браве

Цегляна стіна може бути структурована з безліччю різних типів решіток, з різним походженням, і визначають сітчасті точки, що представляють цеглу. Але є решітка, яка більше підходить симетрії цегли і до того, як цеглинами будують стіну.

Адекватність решітки структурі проілюстрована на двовимірних прикладах, наведених нижче. У всіх трьох випадках показані дві різні решітки, одна коса і примітивна і одна прямокутна і по центру. У перших двох випадках найбільш підходящими є прямокутні решітки. Однак деформація структури в третьому прикладі призводить до метричних співвідношень, які роблять це найбільш підходящою решіткою, косою примітивною, шестикутною в даному випадку.

Адекватність гратчастого типу конструкції. Блакитна решітка – найкраща в кожному конкретному випадку.

Нарешті, об’єднавши 32 класи кристалів (кристалографічні групи точок) з 14 гратами Браве , ми знаходимо до 230 різних способів відтворення скінченного об’єкта (мотиву) у тривимірному просторі. Ці 230 способів повторення візерунків у просторі , які сумісні з 32 класами кристалів та гратами Браве 14, називаються космічними групами і представляють 230 різних способів пристосувати решітки Браве до симетрія предметів. Зацікавлений читач також повинен проконсультуватися з чудовою роботою над елементами симетрії, присутніми в космічних групах, запропонованої Маргарет Кастнер, Тіматі Медлок та Крісті Браун через цю ланку Університету Бакнелла.

32 класи кристалів + 14 решіток Браве = 230 Космічні групи

Стіна з цегли показує найбільш підходящу решітку, яка найкраще представляє як цеглу, так і його симетрію. Зверніть увагу, що в цьому випадку точкова симетрія цегли і точкова симетрія сітчастої точки збігаються. Просторова група, враховуючи товщину цегли, становить См2.

32 класи кристалів, решітки 14 Браве та 230 космічних груп можуть бути класифіковані відповідно до їх розміщеної мінімальної симетрії на 7 кристалічних систем . Мінімальна симетрія створює деякі обмеження в метричних значеннях (відстанях і кутах), які описують форму і розмір решітки.

32 класи, 14 решіток, 230 космічних груп/кришталева симетрія = 7 кристалічних систем

Все це узагальнено в наступній таблиці:

Сумісні кришталеві решітки

Сингонії (системи) і види симетрії (класи) кристалів

Ромбічна сингонія включає всі кристали, що мають три взаємно перпендикулярні подвійні осі (або їх еквіваленти).

Тетрагональна сингонія включає всі кристали, що мають одну четверную (тетрагональну) вісь (вісь 4-го порядку).

Кубічна (правильна, ізометрична) сингонія включає всі кристали, що мають чотири потрійні й три четверние осі. Потрійні осі паралельні діагоналям куба й нахилено одна до іншої під кутом 70°32.

(Іноді тригональна сингонія вважається частиною гексагональної сингонії, так що в цьому випадку налічується всього шість різних сингоній.).

Кристали різних сингоній (систем) у свою чергу діляться на види (класи) симетрії по сукупності елементів симетрії, які доповнюють характерні елементи сингонії, зазначені вище. Існує 32 виду симетрії, але багато хто з них мають дуже невелике значення й рідке зустрічаються серед мі-

неральних утворів. У кожній сингонії гнітюче чис-,ло відомих представників виявляє ступінь симетрій! максимально можливу для даної сингонії: вони належать до так званого голоєдрическому виду симетрії даної сингонії. Тут нам необхідно згадати всі голоєдрические й тільки трохи інших видів симетрії, у які попадають найважливіші дорогоцінні мінерали

I. Триклннная сингонія. Голоєдрический класа пинако-идальний. Єдиний елемент симетрії — центр симетрії. Загальна форма — пинакоид; оскільки кожна форма полягає

з пари паралельних граней, у реальних кристалах повинне існувати не менше трьох таких форм. Цей вид симетрії виражений у плагіоклазах, кіаніті й родоніті

Моноклінна сингонія. Голоєдрический клас, призматичний. Елементи симетрії: 1 подвійна вісь, 1 площина ( під прямим кутом до осі) і центр симетрії

Особливі форми — різні види пинакоидов, загальна форма — призма. Приблизно половина всіх відомих кристалічних речовин ставиться до цього класу, а серед ювелірних матеріалів — ортоклаз (мал. 3), сподумен, євклаз, сфен і епідот (мал. 20).

Ромбічна сингонія. Голоєдрический клас: ромбоби-пирамидальний. Елементи симетрії: 3 взаємно перпендикулярні подвійні осі, 3 площини ( під прямим кутом до осей) і центр симетрії

Особливі форми — пинакоиди й призми; загальна форма — бипирамида. За значенням цей клас займає друге меето. До нього належать топаз (мал. 22), олівін і хризоберил, а також менш відомі мінерали: андалузит, кордиерит, бериллонит, гамір-бергит, данбурит, брукит, фіброліт, корнерупин, єнетатит і цоизит.

Тетрагональна сингонія. Голоєдрический класа дитетра-гон-бипирамидальний. Елементи симетрії: 1 тетрагональна вісь і 4 подвійні осі, перпендикулярні їй, 5 площин симетрії (иод прямим кутом до всіх осей) і центр симетрії

Є велика кількість особливих форм; довільно розташована грань повторюється у вигляді чотирьох пар граней навколо четверной осі, а вони відбиваються симетрично в нижній частині кристала, утворюючи, таким чином, дитетрагональную бипирамиду. Прикладами мінералів цього класу служать циркон (мал. 2), каситерит і везувіан

Тетрагон-Бипирамидалишй клас. Елементи симетрії: 1 тетрагональна вісь, 1 площина ( під прямим кутом до осі) і центр симетрії

Особливі форми — пинакоид (, що розбудовується із граней, розташованих під прямим кутом до осі 4-го порядку) і тетрагональні призми ( із граней, паралельних цієї осі); загальна форма в цьому випадку — 8-гранная тетрагональна бипирамида без тих площин симетрії, що проходять через тетрагональну вісь, які створюють дитетрагональную симетрію й характерні для голоєдрии. До цього класу ставиться скаполіт, якому іноді надають огранювання дорогоцінного каменю

Гексагональна сингонія. Голоєдрический класу дигекса-гон-бипирамидальний. Елементи симетрії: 1 гексагональна вісь, 6 подвійних осей ( під прямим кутом до осі 6-го порядку), 7 площин симетрії й центр симетрії

Цей клас — гексагональний аналог голоєдрического класу тетрагональної сингонії. Серед особливих форм фігурують пина-коиди, призми й гексагональні бипирамиди; загальна форма має 6 пара граней, що симетрично повторюються, що приводить до утвору дигексагональной бипирамиди. Видатним представником цього класу є берилл.

Гексагон-Бипирамидалъний клас. Елементи симетрії: 1 вісь 6-го порядку, 1 площина ( під прямим кутом до осі) і центр симетрії

Тригональна сингонія. Голоєдрический клас: дитригон-скаленоєдрический. Елементи симетрії: 1 потрійна вісь, 3 подвійні осі, перпендикулярні потрійний осі, 3 площини ( під прямим кутом до подвійних осей) і центр симетрії

Є ряд особливих форм, у тому числі ромбоедри (мал. 23). Загальна форма, у якій відсутня горизонтальна площина симетрії,- скаленоєдр, а не бипирамида; його назва походить від слова scalene (разносторонний, косою) — по вигляду нерівносторонніх трикутних граней (мал. 24). Приклади мінералів цього класу — корунд, кальцит і гематит

Особливі форми включають як тригональні, так і гексагональні призми, так що кристали можуть мати поперечний переріз у вигляді рівностороннього трикутника. У них немає центру симетрії, загальна форма — піраміда (але не бипирамида). Різні кінці кристала мають різну симетрію. Найбільш наочним прикладом мінералів цього класу є турмалін (мал. £).

Трйгон-Шрапецоєдрический клас. Елементи симетрії: 1 потрійна вісь і 3 подвійні осі, перпендикулярні потрійний осі

Площин симетрії ні, і в кристалах цього класу проявляється єнантиоморфизм: їх загальні форми мають праву й ліву модифікації, симетричний^-симетричні-дзеркально-симетричні й нееовмещающиеся. До цього класу ставиться Кварц (мал. 11), що володіє дивною властивістю обертання площини поляризації (уперше відкритим Араго); ця властивість характерна для кристалів, Позбавлених площин симетрії

Дитригон-Бипирамидалъний клас. Елементи симетрії: 1 потрійна вісь; 3 подвійні осі під прямим кутом до неї; 3 площини, кожна з яких містить потрійну вісь і одну з подвійних осей, і 1 площина, перпендикулярна потрійний осі

Особливі форми: пинакоиди й гексагональні призми. Загальна форма — ромбоедр. До цього класу ставляться фенакіт, диоп-таз і виллемит.

VII. Кубічна сингонія. Голоєдрический клас: сорокавось-мигранники. Елементи симетрії: 3 осі 4-го порядку, 4 потрійні осі, 6 подвійних осей; 3 площини, розташовані під прямим кутом до осей 4-го порядку; 6 інших площин (перпендикулярних подвійним осям), центр симетрії

З особливих форм для всіх видів симетрії кубічної сингонії типові куб і ромбододекаєдр. Серед інших особливих форм

цього класу — октаєдр (мал. 25), переломлений куб (мал. 26), икоситетраєдри й переломлений октаєдр (мал. 27). У кристалах алмаза іноді чітко видна 48-гранная загальна форма ( сорока-восьмигранник) (мал. 28). Іншими прикладами мінералів цього класу служать гранат, шпінель і флюорит

Дидодекаєдрический клас. Елементи симетрії: 3 подвійні осі, 4 потрійні осі, 3 площини ( під прямим кутом до подвійних осей) і центр симетрії

Характерна особлива форма — пентагон-додекаєдр (мал. 29), іноді називаний пиритоєдром, тому що він часто добре виражений у піриті — одному з головних представників цього класу

Центру симетрії ні, характерна особлива форма — тетраедр (мал. 5), Прикладом мінералів цього класу служить сфалерит