1. Перпендикулярність прямої і площини

У просторі перпендикулярними називають не тільки прямі, що перетинаються, а й мимобіжні прямі, тому що ми кажемо про кут , який можуть утворити ці прямі, якщо їх розташувати в одній площині.

Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то й інша перпендикулярна до цієї прямої.

Пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною цій площині, якщо вона перпендикулярна кожній прямій, яка лежить у цій площині.

Через будь-яку точку простору проходить пряма перпендикулярна даній площині, і до того ж тільки одна.

Ознака перпендикулярності прямої і площини.
Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються у площині, то вона перпендикулярна цій площині.

Нехай \(a\) — пряма, перпендикулярна прямим \(b\) і \(c\) у площині. Проведемо пряму \(a\) через точку \(A\) перетину прямих \(b\) і \(c\). Доведемо, що пряма \(a\) перпендикулярна площині, тобто кожній прямій в цій площині.

1. Проведемо довільну пряму \(x\) через точку \(A\) в площині і покажемо, що вона перпендикулярна прямій \(a\). Проведемо в площині довільну пряму, що не проходить через точку \(A\) і перетинає прямі \(b\), \(c\) і \(x\). Нехай точками перетину будуть \(B\), \(C\) і \(X\).

3. Трикутник \(MCN\) рівнобедрений, оскільки відрізок \(AC\) є висотою за умовою теореми і медіаною з побудови (\(AM = AN\)). З тієї ж причини трикутник \(MBN\) теж рівнобедрений.

5. З рівності трикутників \(MBC\) і \(NBC\) випливає рівність кутів \(MBX\) і \(NBX\) і, отже, рівність трикутників \(MBX\) і \(NBX\) за двома сторонами та кутом між ними.

6. З рівності сторін \(MX\) і \(NX\) цих трикутників випливає, що трикутник \(MXN\) рівнобедрений. Тому його медіана \(XA\) є також висотою. А це і означає, що пряма \(x\) перпендикулярна \(a\). За визначенням пряма \(a\) перпендикулярна площині.

1. Перпендикулярні прямі

Ця властивість використовується для побудови паралельних прямих за допомогою лінійки та косинця. Двічі прикладаючи косинець до лінійки, можна провести дві прямі, перпендикулярні до краю лінійки.

Теорема (про існування і єдиність перпендикулярної прямої)
Через будь-яку точку площини можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і тільки одну.

Теорема містить два твердження:
\(1)\) існує пряма, що проходить через дану точку площини і є перпендикулярною до даної прямої;
\(2)\) така пряма єдина.

Перше твердження теореми говорить про існування прямої з описаними властивостями, друге — про її єдиність.

Перпендикуляром до даної прямої, проведеним із точки A, називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної, одним із кінців якого є точка А, а другим ( основою перпендикуляра ) — точка перетину цих прямих.

Відстанню від точки до прямої, яка не проходить через дану точку, називається довжина перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої.

1. Перпендикулярність прямої і площини

У просторі перпендикулярними називають не тільки прямі, що перетинаються, а й мимобіжні прямі, тому що ми кажемо про кут , який можуть утворити ці прямі, якщо їх розташувати в одній площині.

Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то й інша перпендикулярна до цієї прямої.

Пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною цій площині, якщо вона перпендикулярна кожній прямій, яка лежить у цій площині.

Через будь-яку точку простору проходить пряма перпендикулярна даній площині, і до того ж тільки одна.

Ознака перпендикулярності прямої і площини.
Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються у площині, то вона перпендикулярна цій площині.

Нехай \(a\) — пряма, перпендикулярна прямим \(b\) і \(c\) у площині. Проведемо пряму \(a\) через точку \(A\) перетину прямих \(b\) і \(c\). Доведемо, що пряма \(a\) перпендикулярна площині, тобто кожній прямій в цій площині.

1. Проведемо довільну пряму \(x\) через точку \(A\) в площині і покажемо, що вона перпендикулярна прямій \(a\). Проведемо в площині довільну пряму, що не проходить через точку \(A\) і перетинає прямі \(b\), \(c\) і \(x\). Нехай точками перетину будуть \(B\), \(C\) і \(X\).

3. Трикутник \(MCN\) рівнобедрений, оскільки відрізок \(AC\) є висотою за умовою теореми і медіаною з побудови (\(AM = AN\)). З тієї ж причини трикутник \(MBN\) теж рівнобедрений.

5. З рівності трикутників \(MBC\) і \(NBC\) випливає рівність кутів \(MBX\) і \(NBX\) і, отже, рівність трикутників \(MBX\) і \(NBX\) за двома сторонами та кутом між ними.

6. З рівності сторін \(MX\) і \(NX\) цих трикутників випливає, що трикутник \(MXN\) рівнобедрений. Тому його медіана \(XA\) є також висотою. А це і означає, що пряма \(x\) перпендикулярна \(a\). За визначенням пряма \(a\) перпендикулярна площині.