§ 8. Шлях. Переміщення

ШЛЯХ І ПЕРЕМІЩЕННЯ. Траєкторія тіла характеризується не лише формою, а й довжиною. Довжину траєкторії, яку проходить тіло за час руху, називають пройденим шляхом.

Шлях — фізична величина, що дорівнює довжині траєкторії, яку описує тіло за час руху.

Шлях позначають малою латинською літерою l*, одиницею шляху в СІ є метр (1 м).

* У науковій і навчальній літературі шлях інколи позначають малою латинською літерою s.

На практиці застосовують також інші одиниці шляху:

Якщо відомо, де розташоване тіло на початку руху, його траєкторію і пройдений шлях, то можна визначити, де буде тіло в кінці руху. Коли траєкторія руху невідома і не важливо, якою саме траєкторією рухається тіло, а треба вміти визначити зміну положення тіла у просторі з плином часу, тоді користуються поняттям переміщення. Для цього сполучають відрізком прямої початок руху тіла з його положенням у певний момент часу. Тоді зміну положення тіла в цьому напрямі називають переміщенням.

Переміщення — фізична величина, що характеризує зміну положення тіла у просторі та визначається напрямленим відрізком, який сполучає положення рухомого тіла на початку і в кінці певного інтервалу часу.

ПРИКЛАД. Щоб дістатись із Києва до Донецька автомобілем, водію доводиться їхати звивистою дорогою (червона лінія на малюнку 41). Пройдений при цьому шлях — це довжина дороги l (траєкторії).

Мал. 41. Траєкторія, шлях, переміщення

Разом з тим, водій здійснив переміщення із точки А в точку В, яке можна показати, з’єднавши початкове і кінцеве положення тіла в просторі прямою лінією і позначивши напрям руху (зелена лінія на мал. 43). Щоб визначити положення тіла в будь-який момент часу, досить знати його положення у початковий момент і переміщення. Переміщення є прикладом векторної фізичної величини.

СКАЛЯРНІ ТА ВЕКТОРНІ ВЕЛИЧИНИ. Вивчаючи математику і фізику, до цих пір ви стикалися з величинами, які характеризуються лише числовим значенням: шлях, площа, довжина, об’єм, час тощо. Такі величини називають скалярними.

Скалярна величина, або скаляр (від лат. scalaris — ступінчастий), у фізиці — величина, кожне значення якої може бути виражене одним дійсним числом.

Скалярні величини, зазвичай, як в алгебрі, позначають малими і великими латинськими літерами: l, t, V.

Багато фізичних величин, подібно до переміщення, окрім свого числового значення, ще вказують її напрям у просторі. Переміщення, а також швидкість, сила — величини векторні.

Векторна величина, або вектор (від лат. vector — несучий, перевізник), у фізиці — величина, яка, окрім числового значення, має ще й напрям.

У позначеннях векторних величин до латинських літер додають над ними стрілочку. Значення довжини вектора ще називають модулем вектора та позначають літерою без стрілочки.

Вектор графічно зображають напрямленим відрізком (стрілкою), довжина якого пропорційна його числовому значенню — модулю. Перед побудовою вектора обирають одиницю довжини в певному масштабі, а потім відкладають потрібну кількість одиниць. Так, на малюнку 42 зображено вектор завдовжки 9 см.

Мал. 42. Графічне зображення вектора; одна поділка дорівнює 1 см

Задавши напрямлений відрізок, ми задаємо відразу три характеристики вектора: числове значення, напрям і точку прикладання. Такі ж три характеристики має і кожна векторна фізична величина. Вектори, що мають однакові довжину і напрям, є рівними. Залежно від досліджуваного випадку, точку прикладання вектора жорстко задано, а інколи її можна зміщувати вздовж вектора.

Одиницею переміщення є метр (1 м).

Тепер можна дати ще одне визначення переміщення:

Шлях і переміщення є характеристиками руху тіла, вони мають однакові одиниці, але це різні фізичні величини. Якщо траєкторія криволінійна, модуль переміщення менший від пройденого тілом шляху, бо відрізок прямої коротший за будь-яку криву, що з’єднує кінці відрізка. У разі прямолінійного руху, за умови, що тіло не змінювало напрям руху, модуль переміщення і шлях дорівнюють одне одному. Якщо тіло повертається у вихідне положення (наприклад, воно зробило повний оберт по колу), то початкове та кінцеве положення тіла співпадають і модуль переміщення дорівнює нулю. Якщо, наприклад, тіло здійснило два повних оберти, то пройдений шлях дорівнюватиме двом довжинам кола, а переміщення — нулю. Тобто переміщення може дорівнювати нулю навіть тоді, коли тіло рухалося.

ПІДБИВАЄМО ПІДСУМКИ

Зміну положення тіла можна визначити за пройденим шляхом по певній траєкторії або за переміщенням. Шлях — величина скалярна, переміщення — векторна.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ

Дайте відповідь на запитання

• 1. Що таке шлях? Як його позначають і яка його одиниця?
• 2. Що таке переміщення? Як його позначають і яка його одиниця?
• 3. Які величини називають скалярними, а які — векторними?

1. У яких випадках застосовують фізичну величину — переміщення?

2. Що спільного і що відмінного між пройденим шляхом і переміщенням тіла? Наведіть приклади.

3. У якому з випадків шлях дорівнює модулю переміщення тіла?

• А. Яблуко відірвалось з гілки і падає на землю
• Б. М’яч після подачі волейболіста перелітає через сітку
• В. Супутник здійснив оберт навколо Землі

1. Тіло здійснює рух уздовж сторін квадрата, сторона якого 20 см. Визначте шлях і переміщення тіла, якщо: а) тіло пройшло вздовж однієї сторони; б) двох сторін; в) трьох сторін; г) чотирьох сторін.

2. На малюнку 43 зображено траєкторію руху тіла, що почало рухатись із точки А. Визначте: а) координату початкового положення тіла; б) координату кінцевого положення тіла; в) зміну координати внаслідок руху тіла; г) шлях, пройдений тілом; д) модуль і напрямок переміщення тіла.

3. Спортсмен відбив м’яч вертикально вгору, коли той перебував на відстані 0,5 м від підлоги, а спіймав його на висоті 1,9 м. Який шлях і яке переміщення м’яча, якщо під час польоту він піднімався на максимальну висоту 3 м?

4. Тіло перемістилося з точки, координати якої х₁ = 0 м, у₁ = 2 м, у точку з координатами х₂ = 4 м, у₂ = -1 м. Зробіть побудову на координатній площині та визначте модуль переміщення.

ФІЗИКА НАВКОЛО НАС

Дорожнє колесо — це, мабуть, одне з перших вимірювальних пристосувань, відомих людству. Важко сказати, коли саме для вимірювання відстані стали застосовувати дорожнє колесо, однак і сьогодні, незважаючи на розвиток сучасних технологій, дорожнє колесо продовжує користуватися великим попитом (мал. 44).

Мал. 44. Дорожнє колесо

Діаметр колеса дорівнює 31,83 см, тоді, здійснивши один оберт, дорожнє колесо проходить шлях 1 м.

Дорожні колеса застосовуються для вимірювання відстаней у таких місцях, де традиційні вимірювальні прилади не справляються зі своїм завданням. Якщо використання звичайних мірних стрічок, далекомірів або рулеток неможливе з тих чи інших причин, на допомогу приходять дорожні вимірювальні колеса, як їх ще називають, дорожні курвіметри.

Курвіметр (від лат. curvus — кривий і грец. метрон — міра, вимірювач) — прилад для вимірювання довжини кривих ліній на планах і картах (мал. 45).

Мал. 45. Курвіметр

Знизу курвіметра міститься зубчате коліщатко, яким прокочують по лінії, тримаючи прилад перпендикулярно до площини карти. Обертання коліщатка передається через зубчасту передачу лічильному механізмові, що показує виміряну довжину дуги. Далі, користуючись масштабом карти, визначають пройдену відстань.

Подивіться на малюнок 46. Що він вам нагадує? Так, такий вигляд мала перша комп’ютерна миша, її винахідником став у 1964 р. Дуглас Карл Енгельбарт.

Мал. 46. «Нащадок» курвіметра — комп’ютерна миша, праворуч — її винахідник

§ 7. Траєкторія руху. Шлях. Переміщення

Візьміть аркуш паперу. Поставте на ньому точки А і В та з’єднайте їх кривою лінією (рис. 7.1). Ця лінія збігається з траєкторією руху кінчика олівця, тобто з лінією, у кожній точці якої послідовно побував кінчик олівця під час свого руху. Відповідь на те, що таке траєкторія руху, а також на багато інших запитань ви знайдете в цьому параграфі.

Рис. 7.1. На папері кінець олівця залишає лінію, по якій рухався

1. Дізнаємося про траєкторію руху

Траєкторія руху — це уявна лінія, яку описує в просторі точка, що рухається.

Зазвичай ми не бачимо траєкторії руху тіл, проте інколи бувають винятки. Так, у безхмарну погоду високо в небі можна побачити білий слід, який залишає літак під час свого руху*. За цим слідом можна дізнатися про траєкторію руху літака.

Як ви вважаєте, траєкторії руху яких тіл можна відновити за слідами, зображеними на рис. 7.2? Поміркуйте, в яких випадках траєкторію руху «заготовлюють» заздалегідь.

Форма траєкторії може бути різною: пряма, коло, дуга, ламана тощо. За формою траєкторії рух тіл поділяють на прямолінійний і криволінійний (рис. 7.3).

Рис. 7.2. Іноді за слідами легко відновити траєкторію руху тіла

Рис. 7.3. Рух потяга на станції метро (а) — приклад прямолінійного руху; рух кабінки оглядового колеса (б) і рух гойдалки (в) — приклади криволінійного руху. Стрілками показано напрямок руху

* Чому виникає такий слід і що він собою являє, ви дізнаєтеся з курсу фізики 8 класу.

Рис. 7.4. Траєкторія руху яблука для пасажирів автобуса — короткий відрізок прямої (на схемі — лінія 1), для людини на узбіччі дороги — крива лінія (на схемі — лінія 2)

Форма траєкторії, руху тіла залежить від того, відносно якої системи відліку розглядають рух.

Наведемо приклад. У хлопчика, який їде в автобусі, впало з рук яблуко (рис. 7.4). Для дівчинки, яка сидить навпроти, траєкторія руху яблука — короткий відрізок прямої. У цьому випадку система відліку, відносно якої розглядають рух яблука, пов’язана із салоном автобуса. Але весь час, поки яблуко падало, воно «їхало» разом з автобусом, тому для людини, що стоїть на узбіччі дороги, траєкторія руху яблука зовсім інша. Система відліку в такому разі пов’язана з дорогою.

2. З’ясовуємо, чим шлях відрізняється від переміщення

Повернемося на початок параграфа (див. рис. 7.1). Щоб знайти шлях, який подолав кінець олівця, рисуючи криву лінію, необхідно виміряти довжину цієї лінії, тобто знайти довжину траєкторії (рис. 7.5).

Шлях — це фізична величина, яка дорівнює довжині траєкторії.

Шлях позначають символом l.

Одиниця шляху в CI — метр:

Використовують також частинні та кратні одиниці шляху, наприклад міліметр (мм), сантиметр (см), кілометр (км):

1 мм = 0,001 м

1 см = 0,01 м

1 км = 1000 м

Шлях, який подолало тіло, буде різним відносно різних систем відліку. Згадаємо яблуко в автобусі (див. рис. 7.4): для пасажирів яблуко подолало шлях близько пів метра, а для людини на узбіччі дороги — декілька метрів.

Звернемося знову до рис. 7.1 і з’єднаємо точки А і В відрізком прямої зі стрілкою (рис. 7.6). Отримаємо напрямлений відрізок, який покаже, у якому напрямку та на яку відстань перемістився кінець олівця.

Рис. 7.5. Вимірювання довжини траекторії

Рис. 7.6. Переміщення показує, у якому напрямку та на яку відстань перемістилося тіло за певний інтервал часу

Рис. 7.7. Порівняння шляху l і модуля переміщення з тіла

Напрямлений відрізок прямої, який з’єднує початкове та кінцеве положення тіла, називають переміщенням.

Переміщення позначають символом .

Стрілка над символом фізичної величини показує, що переміщення — це векторна фізична величина*. Щоб правильно задати переміщення, необхідно зазначити не тільки його значення (модуль), але й напрямок.

Модуль переміщення, тобто відстань, на яку перемістилося тіло в певному напрямку, також позначають символом s, але без стрілки.

Одиниця переміщення в CI така сама, як і одиниця шляху, — метр:

У загальному випадку переміщення не збігається з траєкторією руху тіла (рис. 7.7, а, б), тому шлях, подоланий тілом, зазвичай більший за модуль переміщення. Шлях і модуль переміщення виявляються рівними лише в тому випадку, коли тіло рухається вздовж прямої в незмінному напрямку (рис. 7.7, в).

Підбиваємо підсумки

Уявну лінію, яку описує в просторі точка, що рухається, називають траєкторією. За формою траєкторії рух тіл поділяють на прямолінійний і криволінійний.

* Фізичні величини, які мають значення та напрямок, називають векторними, а ті, які мають тільки значення, називають скалярними.

Шлях l — це фізична величина, яка дорівнює довжині траєкторії. Переміщення

— це напрямлений відрізок прямої, який з’єднує початкове та кінцеве положення тіла. Одиниця шляху та переміщення в CI — метр (м).

Контрольні запитання

1. Дайте означення траєкторії руху. 2. Дайте означення шляху. 3. Назвіть одиницю шляху в CI. 4. Чому, знаючи тільки шлях і початкове положення тіла, не можна визначити кінцеве положення тіла? 5. Дайте означення переміщення. 6. Як переміщення позначають на кресленнях? 7. У якому випадку модуль переміщення дорівнює подоланому шляху? 8. Чи залежать траєкторія руху тіла, шлях і переміщення від вибору системи відліку? Наведіть приклади.

1. Футболіст пробігає за матч близько 10 км. 10 км — це шлях чи модуль переміщення футболіста? Яким може виявитися мінімальний модуль переміщення футболіста за матч?

2. Гелікоптер піднімається вертикально вгору (див. рисунок). Зобразіть траєкторію руху точок А і В, розташованих на лопатях гвинта гелікоптера: а) відносно пілота; б) відносно Землі.

3. Пасажир потяга пройшов вагоном від першого до четвертого купе. За цей час вагон проїхав відстань 400 м. Відстань між першим і четвертим купе становить 7,5 м. Визначте, який шлях подолав пасажир відносно потяга; відносно землі, якщо пасажир рухався: а) у напрямку руху потяга; б) у напрямку, протилежному напрямку руху потяга.

4. У початковий момент часу тіло перебувало в точці А з координатами х₀ = 4 м, у₀ = -3 м. Через певний інтервал часу тіло перемістилося в точку B з координатами х = -4 м, у = 3 м. Накресліть у зошиті систему координат, зазначте точки А і B, зобразіть вектор переміщення та визначте його модуль. Чи можна, використавши дані задачі, визначити шлях, подоланий тілом?

5. Мотоцикліст, рухаючись ареною цирку, проїжджає коло радіуса 13 м за 8 с. Визначте шлях і модуль переміщення мотоцикліста: а) за 4 с руху; б) за 8 с руху.

6. Скориставшись картою міста (села), в якому ви мешкаєте, побудуйте траєкторію вашого руху від дому до школи. Визначте шлях, який ви долаєте, і модуль переміщення.

7. Розв’яжіть рівняння: а) 5 = 2t; б) 4 + x = 2x;

Експериментальне завдання

«Циклоїда». Побудуйте циклоїду — траєкторію руху точки на ободі колеса під час прямолінійного руху транспортного засобу. Для цього:

• 1) зробіть паперовий круг діаметром 2-3 см — «колесо», на «ободі» якого поставте точку;
• 2) покладіть лінійку на аркуш паперу, поряд із лінійкою розмістіть «колесо» так, щоб воно її торкалося;
• 3) перекочуючи «колесо» вздовж лінійки, якнайчастіше позначайте на папері положення зазначеної точки (див. рисунок);

Оберіть інші точки, проколовши в «колесі» 2-3 отвори, один з яких розташуйте в центрі колеса. Побудуйте траєкторію руху кожної точки.

Фізика і техніка в Україні

Євген Оскарович Пато’н (1870-1953) — засновник Інституту зварювання, який зараз носить його ім’я, автор і керівник проектів понад 100 зварних мостів. Серед них — розташований у Києві перший у світі суцільнозварний міст, відомий нині як міст Патона.

У роки Другої світової війни (1939-1945) Є. О. Патон запровадив технологію автоматичного зварювання і цим здійснив значний внесок в оборонну промисловість країни. Автомати швидкісного зварювання дозволили суттєво полегшити процес виготовлення важкої техніки, а крім того, не вимагали від робітників високої кваліфікації, глибоких спеціальних знань і великих фізичних зусиль. Зварювальниками могли працювати підлітки та жінки.

У післявоєнні роки Є. О. Патон очолив дослідження зі створення наукових основ зварювання та широкого запровадження зварювання в промисловість.