Урок 31. Рівняння з модулями

Bankchart.com.ua наводить приклади розв’язання рівнянь з модулями.

Путівник за статтею

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСІХ

Як розв’язувати рівняння з модулем?

Щоб вирішити рівняння, що містить змінну під знаком модуля, треба звільнитися від знака модуля, використовуючи його визначення:

Покроковий алгоритм розв’язання рівняння з модулем:

1. Знаходимо критичні точки, тобто значення змінної, при яких вирази, що стоять під знаком модуля, перетворюються в нуль
2. Розбиваємо область допустимих значень змінної на проміжки, на кожному з яких вирази, що стоять під знаком модуля, зберігають знак;
3. На кожному зі знайдених проміжків вирішують рівняння без знака модуля.

Коренями рівняння буде об’єднання коренів зазначених проміжків.

Приклади розв’язання рівнянь з модулем

Приклад. Розв’яжіть рівняння

Знайдемо критичну точку (вираз під модулем дорівнює нулю):

Але таке значення х = –2/3 не входить в даний проміжок х < –3

При х ≥ 3 отримуємо рівняння

х = 4, даний корінь підходить, оскільки він входить в проміжок х ≥ 3

Відповідь: 4

Приклад. Розв’яжіть рівняння

Розглядаємо кожен проміжок:

При х ≥ 3, рівняння має вигляд х + 5 – (х – 3) = 8, х + 5 – х + 3 = 8, 8 = 8 Це означає, що рівняння виконується при усіх значеннях х, що належать даному проміжку [3; +∞).

Таким чином, ми отримали корені рівняння 3 і [3; +∞). Об’єднавши дані результати, можемо сказати, що коренями рівняння є проміжок: [3; +∞)

Відповідь: [3; +∞)

Системи нерівностей, розвязування систем лінійних нерівностей

Означення: — таке значення змінної або такий упорядкований набір значень зміниих, що задовольняє одразу всім нерівностям системи, тобто розвязком системи двох або більше нерівностей з невідомими називається така упорядкована множина множина з чисел, при підстановці яких у систему замість невідомих усі нерівності перетворюються на правильні числові рівності.

Означення: — знайти всі її розвязки або довести, що їх немає.

Якщо система не має розвязку, то вона є несумісна.

Приклад систем нерівностей

— система трьох рівнянь з двома змінними

Пара тобто — один із розвязків системи

Схема розвязування систем нерівностей з однією змінною

Схема розвязування систем нерівностей з декілька змінними

Приклади розвязування систем рівнянь

Розвязування графічним методом

Приклад 1

Побудувавши графіки побачимо, що графіки перетинаються в точці

Розвязування методом підстановки

Приклад 2

З першого рівняння виражаємо А одержаний вираз підставляємо в друге рівняння системи:

Одержане значення підставляємо у вираз

Розвязування методом додавання

Приклад 3

Маємо позбутись змінної Множимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге – на 2.

Додаємо почленно рівняння і одержуємо:

Знаходимо значення з першого рівняння системи:

Зауваження: В методі додавання можна множити не тільки на додатні числа, а і на відємні.

Яким способом розвязувати систему рівнянь вирішувати тільки Вам.

Рівняння і нерівності з модулями, геометричний зміст модуля

Підносимо до квадрату ліву і праву частину нерівності:

Приклад розвязування нерівності з декількома модулями

1) ОДЗ; 2) Нулі подмодульних функцій;

Довідник

• Числа і вирази
  • Подільність цілих чисел, ознаки подільності
  • Прості і складені числа, прості дільники
  • Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне
  • Відсотки, відсоток від числа
  • Дійсні числа, числові множини
  • Пропорції і відношення, пряма та обернена пропорційність
  • Модуль числа та властивості модуля
  • Середнє арифметичне та середнє геометричне
  • Алгебраїчні вирази, одночлен і многочлен
  • Формули скороченого множення
  • Многочлен. Ділення многочлена на многочлен
  • Формули Вієта та корені многочлена
  • Степінь, властивості степенів
  • Корінь n-ого степеня, властивості коренів n-ого степеня
  • Логарифм числа, властивості логарифмів
  • Послідовності чисел, метод математичної індукції
  • Арифметична прогресія, сума арифметичної прогресії
  • Геометрична прогресія, сума геометричної прогресії
  • Рівняння з однією змінною, область допустимих значень рівняння
  • Нерівність з однією змінною, ОДЗ нерівності
  • Схема розвязування рівнянь, заміна змінних
  • Розвязування нерівностей, метод інтервалів
  • Системи рівнянь, розвязування систем лінійних рівнянь
  • Системи нерівностей, розвязування систем лінійних нерівностей
  • Лінійні рівняння і нерівності
  • Квадратне рівняння, теорема Вієта
  • Квадратна нерівність
  • Дробові рівняння, як розвязати дробове рівняння
  • Дробові нерівності, як розвязати дробову нерівність
  • Рівняння і нерівності з модулями, геометричний зміст модуля
  • Ірраціональні рівняння
  • Ірраціональні нерівності
  • Показникові рівняння
  • Показникові нерівності
  • Показниково-степеневі рівняння
  • Логарифмічні рівняння
  • Логарифмічні нерівності
  • Системи лінійних рівнянь
  • Функція, область визначення і множина значень функції
  • Область визначення функції
  • Графік функції
  • Парні функції, непарні функції
  • Властивості функцій
  • Зростаючі функції, спадні функції
  • Неперервність функції
  • Періодичність функції
  • Обернена функція
  • Асимптоти графіка функції
  • Елементарні перетворення графіка функції
  • Лінійна функція, графік лінійної функції
  • Дробово-лінійна функція
  • Квадратична функція, графік квадратичної функції
  • Функція кореня, графік функції кореня
  • Степенева функція
  • Показникова функція, графік показникової функції
  • Логарифмічна функція, графік логарифмічної функції
  • Границя функції
  • Границя функції в нескінченності
  • Обчислення границі функції
  • Похідна функції, як знайти похідну функції
  • Таблиця похідних
  • Застосування похідної до дослідження функції
  • Диференціал функції, знаходження диференціала
  • Друга похідна, точка перегину
  • Дослідження функції, побудова графіка функції
  • Первісна та інтеграл
  • Визначений інтеграл
  • Обчислення площ і об’ємів за допомогою визначеного інтеграла
  • Тригонометрія. Вимірювання кутів
  • Перестановки
  • Звичайні дроби, види дробів
  • Десяткові дроби
  • Ділення десяткових дробів, множення десяткових дробів
  • Скорочення дробів, зведення дробів до спільного знаменника
  • Множення дробів
  • Додавання і віднімання дробів
  • Ділення дробів
  • Перетворення неправильного дробу в мішане число
  • Перетворення мішаного числа в неправильний дріб
  • Перетворення десяткових дробів в звичайні дроби
  • Середнє арифметичне
  • Математика по скайпу с репетитором
  • 5 советов программистам на успешное собеседование
  • Що таке ГДЗ і для чого воно потрібно?
  • База «Библиофонд» – лучшие рефераты и сочинения для студентов
  • Курси QA\QC, тестування Львів
  • Робочі зошити для дошкільнят Федієнко: навчайтеся легко та із задоволенням
  • Чому варто обрати Logos QA Academy?
  • Чому варто вибрати приватний заклад? Переваги школи «Базис»

  Таблиці та формули

  • Таблиця множення, таблиця квадратів, таблиця кубів, таблиця степенів
    • Таблиця множення
    • Таблиця квадратів
    • Таблиця кубів
    • Таблиця степенів
    • Таблиця факторіалів
    • Таблиця чисел
    • Таблиця ділення
    • Таблиця Брадіса косинусів, синусів, тангенсів, котангенсів
    • Таблиця косинусів
    • Таблиця синусів
    • Таблиця тангенсів
    • Таблиця котангенсів
    • Таблиця похідних елементарних функцій, похідна функції
    • Формули скороченого множення

    Класи

    Якщо Ви продовжуєте використовувати даний веб-сайт, ми припускаємо, що Ви згодні отримувати всі файли cookies на всіх сайтах Cubens. Отримати детальну інформацію можна тут.

    Щоб оформити підписку введіть нижче свою електронну адресу