Вирішення задач про кидання гральних кісток. Імовірність гральної кістки

Завдання на ймовірність ігральної кісткине менш популярні, ніж завдання про підкидання монет. Умова такого завдання зазвичай звучить так: при киданні однієї або кількох гральних кісток (2 або 3), яка ймовірність того, що сума очок дорівнюватиме 10, або число очок дорівнює 4, або добуток числа очок, або ділиться на 2 добуток числа очок і так далі.

Застосування формули класичної ймовірності є основним методом розв’язання таких завдань.

Одна гральна кістка, ймовірність.

Досить просто йде справа з однією гральною кісткою. визначається за формулою: P=m/n, де m – це число сприятливих події результатів, а n – кількість всіх елементарних рівноможливих результатів експерименту з підкиданням кістки чи кубика.

Завдання 1. Один раз кинута гральна кістка. Якою є ймовірність випадання парного числа очок?

Оскільки гральна кістка являє собою кубик (або його ще називають правильною гральною кісткою, на всі грані кубик випаде з однаковою ймовірністю, тому що він збалансований), у кубика 6 граней (число очок від 1 до 6, які зазвичай позначаються точками), це означає , що завдання загальне число результатів: n=6. Події сприяють лише результати, у яких випадає грань із парними окулярами 2,4 і 6, у кубика таких граней: m=3. Тепер можемо визначити ймовірність гральної кістки: P=3/6=1/2=0.5.

Завдання 2. Брошений один раз гральний кубик. Яка ймовірність, що випаде щонайменше 5 очок?

Вирішується таке завдання за аналогією з прикладом, зазначеним вище. При киданні грального кубика загальна кількість рівноможливих результатів дорівнює: n=6, а задовольняють умову завдання (випало щонайменше 5 очок, тобто випало 5 чи 6 очок) лише 2 результати, отже m=2. Далі знаходимо необхідну можливість: P=2/6=1/3=0.333.

Дві гральні кістки, ймовірність.

При вирішенні завдань з киданням 2-х гральних кісток дуже зручно користуватися спеціальною таблицею випадання окулярів. На ній по горизонталі відкладається число очок, що випали на першій кістці, а по вертикалі – число очок, яке випало на другу кістку. Заготівля має такий вигляд:

Але постає питання, що ж буде в порожніх осередках таблиці? Це залежить від завдання, яке потрібно вирішити. Якщо у завданні мова йдепро суму очок, тоді туди записується сума, а якщо про різницю – значить записується різницю і таке інше.

Завдання 3. Кинуті одночасно 2 гральні кістки. Якою є ймовірність випадання суми менше 5 очок?

Спочатку необхідно розібратися яке буде загальне число результатів експерименту. Все було очевидно при киданні однієї кістки 6 граней кубика – 6 результатів експерименту. Але коли вже дві кістки, то можливі наслідки можна представити як упорядковані пари чисел виду (x, y), де х показує скільки на першій кістці випало очок (від 1 до 6), а у – скільки випало очок на другій кістці (від 1 до 6). Всього таких числових пар буде: n=6*6=36 (у таблиці результатів їм відповідають 36 осередків).

Тепер можна заповнити таблицю, для цього до кожного осередку заноситься кількість суми очок, які випали на першій та другій кістці. Заповнена таблиця виглядає так:

Завдяки таблиці визначимо кількість результатів, які сприяють події ” випаде у сумі менше 5 очок”. Зробимо підрахунок числа осередків, значення суми в яких буде менше від числа 5 (це 2, 3 і 4). Такі осередки для зручності зафарбовуємо, їх буде m=6:

Враховуючи дані таблиці, ймовірність ігральної кісткидорівнює: P=6/36=1/6.

Завдання 4. Було кинуто дві гральні кістки. Визначити можливість, що добуток числа очок буде ділитися на 3.

Для вирішення задачі складемо таблицю творів окулярів, які випали на першій та на другій кістці. У ній відразу ж виділимо числа кратні 3:

Записуємо загальну кількість результатів експерименту n=36 (міркування такі ж як у попередньому завданні) та кількість сприятливих результатів (число осередків, які зафарбовані в таблиці) m=20. Імовірність події дорівнює: P = 20/36 = 5/9.

Завдання 5. Двічі кинута гральна кістка. Яка ймовірність, що на першій та другій кістці різниця числа очок дорівнює від 2 до 5?

Щоб визначити ймовірність ігральної кісткизапишемо таблицю різниць окулярів і виділимо в ній ті осередки, значення різниці в яких буде між 2 і 5:

Число сприятливих результатів (кількість осередків, зафарбованих у таблиці) дорівнює m=10, загальна кількість рівноможливих елементарних результатів буде n=36. Визначить можливість події: P=10/36=5/18.

У разі простої події та при киданні 2-х кісток, потрібно побудувати таблицю, потім у ній виділити потрібні осередки та їх число поділити на 36, це і буде вважатися ймовірністю.

Завдання 1.4 – 1.6

Умова задачі 1.4

Вказати помилку “вирішення” завдання: кинуто дві гральні кістки; визначити ймовірність того, що сума очок, що випали, дорівнює 3 (подія А). “Рішення”. Можливі два результати випробування: сума очок, що випали, дорівнює 3, сума очок, що випали, не дорівнює 3. Події А сприяє один результат, загальна кількість результатів дорівнює двом. Отже, шукана ймовірність дорівнює P(A) = 1/2.

Розв’язання задачі 1.4

Помилка цього ” рішення ” у тому, що аналізовані результати є рівноможливими. Правильне рішення: загальна кількість рівноможливих результатів дорівнює (кожне число очок, що випали на одній кістці, може поєднуватися з усіма числами очок, що випали на іншій кістці). Серед цих результатів сприяють події лише два результати: (1; 2) та (2; 1). Отже, шукана ймовірність

Умова задачі 1.5

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірності наступних подій: а) сума очок, що випали, дорівнює семи; б) сума очок, що випали, дорівнює восьми, а різниця – чотирьом; в) сума очок, що випали, дорівнює восьми, якщо відомо, що їх різниця дорівнює чотирьом; г) сума очок, що випали, дорівнює п’яти, а твір – чотирьом.

Розв’язання задачі 1.5

а) Шість варіантів першої кістки, шість – на другий. Усього варіантів: (за правилом твору). Варіанти для суми, що дорівнює 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) – всього шість варіантів. Значить,

б) Усього два відповідних варіанти: (6,2) та (2,6). Значить,

в) Усього два відповідних варіанти: (2,6), (6,2). Але все можливих варіантів 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Отже, .

г) Для суми, що дорівнює 5, підходять варіанти: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2). Добуток дорівнює 4 тільки для двох варіантів. Тоді

Відповідь: а) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; г) 1/18

Умова задачі 1.6

Куб, всі грані якого пофарбовані, розпиляний на тисячу кубиків однакового розміру, які потім ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що на удачу витягнутий кубик має пофарбовані грані: а) одну; б)дві; о третій.

Розв’язання задачі 1.6

Усього утворилося 1000 кубиків. Кубиків із трьома пофарбованими гранями: 8 (це кутові кубики). З двома пофарбованими гранями: 96 (оскільки 12 ребер куба з 8 кубиками на кожному ребре). Кубиків з пофарбованою гранню: 384 (бо 6 граней і на кожній грані 64 кубики). Залишилося поділити кожну знайдену кількість на 1000.

Відповідь: а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008

Відповідь залишила Гість

З однією гральною кісткою справа до непристойності просто. Нагадаю, що ймовірність перебуває за формулою P=m/n
P
=
m
n
де n
n
– число всіх рівноможливих елементарних результатів експерименту з підкиданням кубика або кістки, а m
m
– Число тих результатів, які сприяють події.

Приклад 1. Гральна кістка кинута один раз. Яка ймовірність, що випало парне число очок?

Так як гральна кістка являє собою кубик (ще кажуть, правильна гральна кістка, тобто кубик збалансований, так що випадає на всі грані з однаковою ймовірністю), граней у кубика 6 (з числом очок від 1 до 6, які зазвичай позначаються точками), то та загальна кількість результатів у завданні n=6
n
=
6
. Сприяють події лише такі результати, коли випаде грань із 2, 4 або 6 очками (тільки парні), таких граней m=3
m
=
3
. Тоді шукана ймовірність дорівнює P=3/6=1/2=0.5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Приклад 2. Брошений гральний кубик. Знайти ймовірність випадання щонайменше 5 очок.

Розмірковуємо так само, як і в попередньому прикладі. Загальне числорівноможливих результатів при киданні грального кубика n=6
n
=
6
, А умовою “випало не менше 5 очок”, тобто “випало або 5, або 6 очок” задовольняють 2 результати, m=2
m
=
2
. Потрібна ймовірність дорівнює P=2/6=1/3=0.333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Навіть не бачу сенсу наводити ще приклади, переходимо до двох гральних кісток, де все цікавіше та складніше.

Коли йдеться про завдання із киданням 2 кісток, дуже зручно використовувати таблицю випадання окулярів. По горизонталі відкладемо число очок, яке випало першої кістки, по вертикалі – число очок, що випало другої кістки. Отримаємо таку заготовку (зазвичай я роблю її в Excel, файл ви зможете завантажити нижче):

таблиця очок при киданні 2 гральних кісток
А що ж у осередках таблиці, запитаєте ви? А це залежить від того, яке завдання ми вирішуватимемо. Буде завдання про суму очок – запишемо туди суму, про різницю – запишемо різницю і таке інше. Приступаємо?

Приклад 3. Одночасно кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що у сумі випаде менше ніж 5 очок.

Спочатку розберемося із загальною кількістю наслідків експерименту. коли ми кидали одну кістку, все було очевидно, 6 граней – 6 результатів. Тут кісток вже дві, тому результати можна представляти як упорядковані пари чисел виду (x, y)
x
,
y
, де x
x
– скільки очок випало на першій кістці (від 1 до 6), y
y
– скільки очок випало другої кістки (від 1 до 6). Очевидно, що всього таких пар чисел буде n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(і їм відповідають саме 36 осередків у таблиці результатів).

Ось і настав час заповнювати таблицю. У кожен осередок занесемо суму числа очок, що випали на першій і другій кістці, і отримаємо вже ось таку картину:

таблиця суми очок при киданні 2 гральних кісток
Тепер ця таблиця допоможемо нам знайти кількість сприятливих подій “у сумі випаде менше 5 очок” результатів. Для цього підрахуємо число осередків, у яких значення суми буде менше 5 (тобто 2, 3 чи 4). Для наочності зафарбуємо ці комірки, їх буде m=6
m
=
6
:

таблиця суми очок менше 5 при киданні 2 гральних кісток
Тоді ймовірність дорівнює: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Приклад 4. Кинуті дві гральні кістки. Визначити можливість, що добуток числа очок ділиться на 3.

Складаємо таблицю творів окулярів, що випали на першій та другій кістці. Відразу виділяємо в ній ті числа, які є кратними 3:

таблиця добутку очок при киданні 2 гральних кісток
Залишається лише записати, що загальна кількість результатів n=36
n
=
36
(див. попередній приклад, міркування такі самі), а число сприятливих результатів (число зафарбованих осередків у таблиці вище) m=20
m
=
20
. Тоді ймовірність події дорівнює ==20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Як видно, і цей тип завдань при належній підготовці (розібрати ще пару трійку задач) вирішується швидко та просто. Зробимо для різноманітності ще одне завдання з іншою таблицею (всі таблиці можна буде завантажити унизу сторінки).

Приклад 5. Гральний кістку кидають двічі. Знайти ймовірність того, що різниця числа очок на першій та другій кістці буде від 2 до 5.

Запишемо таблицю різниць окулярів, виділимо в ній осередки, в яких значення різниці буде між 2 та 5:

таблиця різниці очок при киданні 2 гральних кісток
Отже, загальна кількість рівноможливих елементарних результатів n=36
n
=
36
а число сприятливих результатів (число зафарбованих осередків у таблиці вище) m=10
m
=
10
. Тоді ймовірність події дорівнює ==10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Отже, у разі, коли йдеться про кидання 2 кісток і просту подію, потрібно побудувати таблицю, виділити в ній потрібні осередки та поділити їх число на 36, це і буде ймовірністю. Крім завдань на суму, добуток і різницю числа очок, також зустрічаються завдання на модуль різниці, найменше і найбільше число очок, що випало (відповідні таблиці ви знайдете у файлі Excel).

Ще одне популярне завдання теорії ймовірностей (нарівні із завданням про підкидання монет) – завдання про підкидання гральних кісток.

Зазвичай завдання звучить так: кидається одна або кілька гральних кісток (зазвичай 2, рідше 3). Необхідно знайти ймовірність того, що число очок дорівнює 4, або сума очок дорівнює 10, або добуток числа очок ділиться на 2, чи числа очок відрізняються на 3 і так далі.

Основний метод вирішення подібних завдань – використання формули класичної ймовірності, який ми розберемо на прикладах нижче.

Ознайомившись з способами вирішення, ви можете завантажити супер-корисний при киданні 2 гральних кісток (з таблицями і прикладами).

Одна гральна кістка

З однією гральною кісткою справа до непристойності просто. Нагадаю, що ймовірність перебуває за формулою $P=m/n$, де $n$ – число всіх рівноможливих елементарних результатів експерименту з підкиданням кубика чи кістки, а $m$ – число тих результатів, які сприяють події.

приклад 1. Гральна кістка кинута один раз. Яка ймовірність, що випало парне число очок?

Оскільки гральна кістка є кубиком (ще говорять, правильна гральна кістка, тобто кубик збалансований, так що випадає на всі грані з однаковою ймовірністю), граней у кубика 6 (з числом очок від 1 до 6, які зазвичай позначаються точками), то і загальна кількість результатів у завданні $n=6$. Сприяють події лише такі результати, коли випаде грань з 2, 4 або 6 очками (тільки парні), таких як $m=3$. Тоді ймовірність дорівнює $P=3/6=1/2=0.5$.

приклад 2. Брошений гральний кубик. Знайти ймовірність випадання щонайменше 5 очок.

Розмірковуємо так само, як і в попередньому прикладі. Загальна кількість рівноможливих результатів при киданні грального кубика $n=6$, а умовою “випало не менше 5 очок”, тобто “випало або 5, або 6 очок” задовольняють 2 результати, $m=2$. Потрібна ймовірність дорівнює $P=2/6=1/3=0.333$.

Навіть не бачу сенсу наводити ще приклади, переходимо до двох гральних кісток, де все цікавіше та складніше.

Дві гральні кістки

Коли йдеться про завдання із киданням 2 кісток, дуже зручно використовувати таблицю випадання окулярів. По горизонталі відкладемо число очок, яке випало першої кістки, по вертикалі – число очок, що випало другої кістки. Отримаємо таку заготовку (зазвичай я роблю її в Excel, файл ви зможете завантажити):

А що ж у осередках таблиці, запитаєте ви? А це залежить від того, яке завдання ми вирішуватимемо. Буде завдання про суму очок – запишемо туди суму, про різницю – запишемо різницю і таке інше. Приступаємо?

Приклад 3. Одночасно кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що у сумі випаде менше ніж 5 очок.

Спочатку розберемося із загальною кількістю наслідків експерименту. коли ми кидали одну кістку, все було очевидно, 6 граней – 6 результатів. Тут кісток вже дві, тому результати можна представляти як упорядковані пари чисел виду $(x,y)$, де $x$ – скільки очок випало на першій кістці (від 1 до 6), $y$ – скільки очок випало на другій кістці (Від 1 до 6). Очевидно, що всього таких пар чисел буде $n = 6 \ cdot 6 = 36 $ (і їм відповідають 36 осередків у таблиці результатів).

Ось і настав час заповнювати таблицю. У кожен осередок занесемо суму числа очок, що випали на першій і другій кістці, і отримаємо вже ось таку картину:

Тепер ця таблиця допоможемо нам знайти кількість сприятливих подій “у сумі випаде менше 5 очок” результатів. Для цього підрахуємо число осередків, у яких значення суми буде менше 5 (тобто 2, 3 чи 4). Для наочності зафарбуємо ці осередки, їх буде $m=6$:

Тоді ймовірність дорівнює $P=6/36=1/6$.

Приклад 4. Кинуті дві гральні кістки. Визначити можливість, що добуток числа очок ділиться на 3.

Складаємо таблицю творів окулярів, що випали на першій та другій кістці. Відразу виділяємо в ній ті числа, які є кратними 3:

Залишається лише записати, що загальна кількість результатів $n=36$ (див. попередній приклад, міркування такі самі), а число сприятливих результатів (число зафарбованих осередків у таблиці вище) $m=20$. Тоді ймовірність події дорівнює $P=20/36=5/9$.

Як видно, і цей тип завдань при належній підготовці (розібрати ще пару трійку задач) вирішується швидко та просто. Зробимо для різноманітності ще одне завдання з іншою таблицею (всі таблиці можна буде завантажити унизу сторінки).

Приклад 5. Гральну кістку кидають двічі. Знайти ймовірність того, що різниця числа очок на першій та другій кістці буде від 2 до 5.

Запишемо таблицю різниць окулярів, виділимо в ній осередки, в яких значення різниці буде між 2 та 5:

Отже, загальна кількість рівноможливих елементарних результатів $n=36$, а число сприятливих результатів (число зафарбованих осередків у таблиці вище) $m=10$. Тоді ймовірність події дорівнює $P=10/36=5/18$.

Отже, у разі, коли йдеться про кидання 2 кісток і просту подію, потрібно побудувати таблицю, виділити в ній потрібні осередки та поділити їх число на 36, це і буде ймовірністю. Крім завдань на суму, добуток і різницю числа очок, також зустрічаються завдання на модуль різниці, найменше і найбільше число очок, що випало (відповідні таблиці ви знайдете в ).

Інші завдання про кістки та кубики

Звичайно, розібраними вище двома класами задач про кидання кісток справа не обмежується (просто це найчастіше зустрічаються в задачниках і методичках), існують і інші. Для різноманітності та розуміння зразкового способу розв’язання розберемо ще три типові приклади: на кидання 3 гральних кісток, на умовну ймовірність і на формулу Бернуллі.

Приклад 6. Вкидають 3 гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випало 15 очок.

У випадку з трьома гральними кістками таблиці складають вже рідше, тому що їх потрібно буде аж 6 штук (а не одна, як вище), обходяться простим перебором необхідних комбінацій.

Знайдемо загальну кількість результатів експерименту. Виходи можна представляти як упорядковані трійки чисел виду $(x,y,z)$, де $x$ – скільки очок випало на першій кістці (від 1 до 6), $y$ – скільки очок випало на другій кістці (від 1 до 6), $z$ – скільки очок випало на третій кістці (від 1 до 6). Очевидно, що всього таких трійок чисел буде $n = 6 \ cdot 6 \ cdot 6 = 216 $.

Тепер підберемо такі результати, що дають у сумі 15 очок.

Отримали $m=3+6+1=10$ результатів. Шукана можливість $P=10/216=0.046$.

Приклад 7. Вкидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на першій кістці випало не більше чотирьох очок, за умови, що сума очок парна.

Найпростіший спосіб вирішення цього завдання – знову скористатися таблицею (все буде наочно), як і раніше. Виписуємо таблицю сум очок і виділяємо лише осередки з парними значеннями:

Отримуємо, що згідно з умовою експерименту, всього є не 36, а $n=18$ результатів (коли сума очок парна).

Тепер з цих осередківоберемо тільки ті, які відповідають події “на першій кістці випало не більше 4 очок” – тобто фактично осередки в перших 4 рядках таблиці (виділені помаранчевим), їх буде $ m = 12 $.

Шукана ймовірність $P=12/18=2/3.$

Це ж завдання можна вирішити по-іншому, використовуючи формулу умовної ймовірності. Введемо події:
А = Сума числа очок парна
В = На першій кістці випало не більше 4 очок
АВ = Сума числа очок парна і першої кістки випало трохи більше 4 очок
Тоді формула для ймовірності має вигляд: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Знаходимо імовірності. Загальна кількість результатів $n=36$, для події А число сприятливих результатів (див. таблиці вище) $m(A)=18$, а події АВ – $m(AB)=12$. Отримуємо: $ $ P (A) = frac (m (A)) (n) = frac (18) (36) = frac (1) (2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=frac(1/3)(1/2)=frac(2)(3). $$ Відповіді співпали.

Приклад 8. Гральний кубик кинуто 4 рази. Знайти ймовірність того, що парне число очок випаде рівно 3 рази.

У випадку, коли гральний кубик кидається кілька разів, А мова у події йде не про суму, твір тощо. інтегральних характеристик, а лише про кількості випаденьпевного типу, можна для обчислення ймовірності використовувати

Вирішення задач про кидання гральних кісток. Імовірність гральної кістки

Завдання на ймовірність ігральної кісткине менш популярні, ніж завдання про підкидання монет. Умова такого завдання зазвичай звучить так: при киданні однієї або кількох гральних кісток (2 або 3), яка ймовірність того, що сума очок дорівнюватиме 10, або число очок дорівнює 4, або добуток числа очок, або ділиться на 2 добуток числа очок і так далі.

Застосування формули класичної ймовірності є основним методом розв’язання таких завдань.

Одна гральна кістка, ймовірність.

Досить просто йде справа з однією гральною кісткою. визначається за формулою: P=m/n, де m – це число сприятливих події результатів, а n – кількість всіх елементарних рівноможливих результатів експерименту з підкиданням кістки чи кубика.

Завдання 1. Один раз кинута гральна кістка. Якою є ймовірність випадання парного числа очок?

Оскільки гральна кістка являє собою кубик (або його ще називають правильною гральною кісткою, на всі грані кубик випаде з однаковою ймовірністю, тому що він збалансований), у кубика 6 граней (число очок від 1 до 6, які зазвичай позначаються точками), це означає , що завдання загальне число результатів: n=6. Події сприяють лише результати, у яких випадає грань із парними окулярами 2,4 і 6, у кубика таких граней: m=3. Тепер можемо визначити ймовірність гральної кістки: P=3/6=1/2=0.5.

Завдання 2. Брошений один раз гральний кубик. Яка ймовірність, що випаде щонайменше 5 очок?

Вирішується таке завдання за аналогією з прикладом, зазначеним вище. При киданні грального кубика загальна кількість рівноможливих результатів дорівнює: n=6, а задовольняють умову завдання (випало щонайменше 5 очок, тобто випало 5 чи 6 очок) лише 2 результати, отже m=2. Далі знаходимо необхідну можливість: P=2/6=1/3=0.333.

Дві гральні кістки, ймовірність.

При вирішенні завдань з киданням 2-х гральних кісток дуже зручно користуватися спеціальною таблицею випадання окулярів. На ній по горизонталі відкладається число очок, що випали на першій кістці, а по вертикалі – число очок, яке випало на другу кістку. Заготівля має такий вигляд:

Але постає питання, що ж буде в порожніх осередках таблиці? Це залежить від завдання, яке потрібно вирішити. Якщо у завданні мова йдепро суму очок, тоді туди записується сума, а якщо про різницю – значить записується різницю і таке інше.

Завдання 3. Кинуті одночасно 2 гральні кістки. Якою є ймовірність випадання суми менше 5 очок?

Спочатку необхідно розібратися яке буде загальне число результатів експерименту. Все було очевидно при киданні однієї кістки 6 граней кубика – 6 результатів експерименту. Але коли вже дві кістки, то можливі наслідки можна представити як упорядковані пари чисел виду (x, y), де х показує скільки на першій кістці випало очок (від 1 до 6), а у – скільки випало очок на другій кістці (від 1 до 6). Всього таких числових пар буде: n=6*6=36 (у таблиці результатів їм відповідають 36 осередків).

Тепер можна заповнити таблицю, для цього до кожного осередку заноситься кількість суми очок, які випали на першій та другій кістці. Заповнена таблиця виглядає так:

Завдяки таблиці визначимо кількість результатів, які сприяють події ” випаде у сумі менше 5 очок”. Зробимо підрахунок числа осередків, значення суми в яких буде менше від числа 5 (це 2, 3 і 4). Такі осередки для зручності зафарбовуємо, їх буде m=6:

Враховуючи дані таблиці, ймовірність ігральної кісткидорівнює: P=6/36=1/6.

Завдання 4. Було кинуто дві гральні кістки. Визначити можливість, що добуток числа очок буде ділитися на 3.

Для вирішення задачі складемо таблицю творів окулярів, які випали на першій та на другій кістці. У ній відразу ж виділимо числа кратні 3:

Записуємо загальну кількість результатів експерименту n=36 (міркування такі ж як у попередньому завданні) та кількість сприятливих результатів (число осередків, які зафарбовані в таблиці) m=20. Імовірність події дорівнює: P = 20/36 = 5/9.

Завдання 5. Двічі кинута гральна кістка. Яка ймовірність, що на першій та другій кістці різниця числа очок дорівнює від 2 до 5?

Щоб визначити ймовірність ігральної кісткизапишемо таблицю різниць окулярів і виділимо в ній ті осередки, значення різниці в яких буде між 2 і 5:

Число сприятливих результатів (кількість осередків, зафарбованих у таблиці) дорівнює m=10, загальна кількість рівноможливих елементарних результатів буде n=36. Визначить можливість події: P=10/36=5/18.

У разі простої події та при киданні 2-х кісток, потрібно побудувати таблицю, потім у ній виділити потрібні осередки та їх число поділити на 36, це і буде вважатися ймовірністю.

Завдання 1.4 – 1.6

Умова задачі 1.4

Вказати помилку “вирішення” завдання: кинуто дві гральні кістки; визначити ймовірність того, що сума очок, що випали, дорівнює 3 (подія А). “Рішення”. Можливі два результати випробування: сума очок, що випали, дорівнює 3, сума очок, що випали, не дорівнює 3. Події А сприяє один результат, загальна кількість результатів дорівнює двом. Отже, шукана ймовірність дорівнює P(A) = 1/2.

Розв’язання задачі 1.4

Помилка цього ” рішення ” у тому, що аналізовані результати є рівноможливими. Правильне рішення: загальна кількість рівноможливих результатів дорівнює (кожне число очок, що випали на одній кістці, може поєднуватися з усіма числами очок, що випали на іншій кістці). Серед цих результатів сприяють події лише два результати: (1; 2) та (2; 1). Отже, шукана ймовірність

Умова задачі 1.5

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірності наступних подій: а) сума очок, що випали, дорівнює семи; б) сума очок, що випали, дорівнює восьми, а різниця – чотирьом; в) сума очок, що випали, дорівнює восьми, якщо відомо, що їх різниця дорівнює чотирьом; г) сума очок, що випали, дорівнює п’яти, а твір – чотирьом.

Розв’язання задачі 1.5

а) Шість варіантів першої кістки, шість – на другий. Усього варіантів: (за правилом твору). Варіанти для суми, що дорівнює 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) – всього шість варіантів. Значить,

б) Усього два відповідних варіанти: (6,2) та (2,6). Значить,

в) Усього два відповідних варіанти: (2,6), (6,2). Але все можливих варіантів 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Отже, .

г) Для суми, що дорівнює 5, підходять варіанти: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2). Добуток дорівнює 4 тільки для двох варіантів. Тоді

Відповідь: а) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; г) 1/18

Умова задачі 1.6

Куб, всі грані якого пофарбовані, розпиляний на тисячу кубиків однакового розміру, які потім ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що на удачу витягнутий кубик має пофарбовані грані: а) одну; б)дві; о третій.

Розв’язання задачі 1.6

Усього утворилося 1000 кубиків. Кубиків із трьома пофарбованими гранями: 8 (це кутові кубики). З двома пофарбованими гранями: 96 (оскільки 12 ребер куба з 8 кубиками на кожному ребре). Кубиків з пофарбованою гранню: 384 (бо 6 граней і на кожній грані 64 кубики). Залишилося поділити кожну знайдену кількість на 1000.

Відповідь: а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008

Відповідь залишила Гість

З однією гральною кісткою справа до непристойності просто. Нагадаю, що ймовірність перебуває за формулою P=m/n
P
=
m
n
де n
n
– число всіх рівноможливих елементарних результатів експерименту з підкиданням кубика або кістки, а m
m
– Число тих результатів, які сприяють події.

Приклад 1. Гральна кістка кинута один раз. Яка ймовірність, що випало парне число очок?

Так як гральна кістка являє собою кубик (ще кажуть, правильна гральна кістка, тобто кубик збалансований, так що випадає на всі грані з однаковою ймовірністю), граней у кубика 6 (з числом очок від 1 до 6, які зазвичай позначаються точками), то та загальна кількість результатів у завданні n=6
n
=
6
. Сприяють події лише такі результати, коли випаде грань із 2, 4 або 6 очками (тільки парні), таких граней m=3
m
=
3
. Тоді шукана ймовірність дорівнює P=3/6=1/2=0.5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Приклад 2. Брошений гральний кубик. Знайти ймовірність випадання щонайменше 5 очок.

Розмірковуємо так само, як і в попередньому прикладі. Загальне числорівноможливих результатів при киданні грального кубика n=6
n
=
6
, А умовою “випало не менше 5 очок”, тобто “випало або 5, або 6 очок” задовольняють 2 результати, m=2
m
=
2
. Потрібна ймовірність дорівнює P=2/6=1/3=0.333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Навіть не бачу сенсу наводити ще приклади, переходимо до двох гральних кісток, де все цікавіше та складніше.

Коли йдеться про завдання із киданням 2 кісток, дуже зручно використовувати таблицю випадання окулярів. По горизонталі відкладемо число очок, яке випало першої кістки, по вертикалі – число очок, що випало другої кістки. Отримаємо таку заготовку (зазвичай я роблю її в Excel, файл ви зможете завантажити нижче):

таблиця очок при киданні 2 гральних кісток
А що ж у осередках таблиці, запитаєте ви? А це залежить від того, яке завдання ми вирішуватимемо. Буде завдання про суму очок – запишемо туди суму, про різницю – запишемо різницю і таке інше. Приступаємо?

Приклад 3. Одночасно кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що у сумі випаде менше ніж 5 очок.

Спочатку розберемося із загальною кількістю наслідків експерименту. коли ми кидали одну кістку, все було очевидно, 6 граней – 6 результатів. Тут кісток вже дві, тому результати можна представляти як упорядковані пари чисел виду (x, y)
x
,
y
, де x
x
– скільки очок випало на першій кістці (від 1 до 6), y
y
– скільки очок випало другої кістки (від 1 до 6). Очевидно, що всього таких пар чисел буде n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(і їм відповідають саме 36 осередків у таблиці результатів).

Ось і настав час заповнювати таблицю. У кожен осередок занесемо суму числа очок, що випали на першій і другій кістці, і отримаємо вже ось таку картину:

таблиця суми очок при киданні 2 гральних кісток
Тепер ця таблиця допоможемо нам знайти кількість сприятливих подій “у сумі випаде менше 5 очок” результатів. Для цього підрахуємо число осередків, у яких значення суми буде менше 5 (тобто 2, 3 чи 4). Для наочності зафарбуємо ці комірки, їх буде m=6
m
=
6
:

таблиця суми очок менше 5 при киданні 2 гральних кісток
Тоді ймовірність дорівнює: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Приклад 4. Кинуті дві гральні кістки. Визначити можливість, що добуток числа очок ділиться на 3.

Складаємо таблицю творів окулярів, що випали на першій та другій кістці. Відразу виділяємо в ній ті числа, які є кратними 3:

таблиця добутку очок при киданні 2 гральних кісток
Залишається лише записати, що загальна кількість результатів n=36
n
=
36
(див. попередній приклад, міркування такі самі), а число сприятливих результатів (число зафарбованих осередків у таблиці вище) m=20
m
=
20
. Тоді ймовірність події дорівнює ==20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Як видно, і цей тип завдань при належній підготовці (розібрати ще пару трійку задач) вирішується швидко та просто. Зробимо для різноманітності ще одне завдання з іншою таблицею (всі таблиці можна буде завантажити унизу сторінки).

Приклад 5. Гральний кістку кидають двічі. Знайти ймовірність того, що різниця числа очок на першій та другій кістці буде від 2 до 5.

Запишемо таблицю різниць окулярів, виділимо в ній осередки, в яких значення різниці буде між 2 та 5:

таблиця різниці очок при киданні 2 гральних кісток
Отже, загальна кількість рівноможливих елементарних результатів n=36
n
=
36
а число сприятливих результатів (число зафарбованих осередків у таблиці вище) m=10
m
=
10
. Тоді ймовірність події дорівнює ==10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Отже, у разі, коли йдеться про кидання 2 кісток і просту подію, потрібно побудувати таблицю, виділити в ній потрібні осередки та поділити їх число на 36, це і буде ймовірністю. Крім завдань на суму, добуток і різницю числа очок, також зустрічаються завдання на модуль різниці, найменше і найбільше число очок, що випало (відповідні таблиці ви знайдете у файлі Excel).

Ще одне популярне завдання теорії ймовірностей (нарівні із завданням про підкидання монет) – завдання про підкидання гральних кісток.

Зазвичай завдання звучить так: кидається одна або кілька гральних кісток (зазвичай 2, рідше 3). Необхідно знайти ймовірність того, що число очок дорівнює 4, або сума очок дорівнює 10, або добуток числа очок ділиться на 2, чи числа очок відрізняються на 3 і так далі.

Основний метод вирішення подібних завдань – використання формули класичної ймовірності, який ми розберемо на прикладах нижче.

Ознайомившись з способами вирішення, ви можете завантажити супер-корисний при киданні 2 гральних кісток (з таблицями і прикладами).

Одна гральна кістка

З однією гральною кісткою справа до непристойності просто. Нагадаю, що ймовірність перебуває за формулою $P=m/n$, де $n$ – число всіх рівноможливих елементарних результатів експерименту з підкиданням кубика чи кістки, а $m$ – число тих результатів, які сприяють події.

приклад 1. Гральна кістка кинута один раз. Яка ймовірність, що випало парне число очок?

Оскільки гральна кістка є кубиком (ще говорять, правильна гральна кістка, тобто кубик збалансований, так що випадає на всі грані з однаковою ймовірністю), граней у кубика 6 (з числом очок від 1 до 6, які зазвичай позначаються точками), то і загальна кількість результатів у завданні $n=6$. Сприяють події лише такі результати, коли випаде грань з 2, 4 або 6 очками (тільки парні), таких як $m=3$. Тоді ймовірність дорівнює $P=3/6=1/2=0.5$.

приклад 2. Брошений гральний кубик. Знайти ймовірність випадання щонайменше 5 очок.

Розмірковуємо так само, як і в попередньому прикладі. Загальна кількість рівноможливих результатів при киданні грального кубика $n=6$, а умовою “випало не менше 5 очок”, тобто “випало або 5, або 6 очок” задовольняють 2 результати, $m=2$. Потрібна ймовірність дорівнює $P=2/6=1/3=0.333$.

Навіть не бачу сенсу наводити ще приклади, переходимо до двох гральних кісток, де все цікавіше та складніше.

Дві гральні кістки

Коли йдеться про завдання із киданням 2 кісток, дуже зручно використовувати таблицю випадання окулярів. По горизонталі відкладемо число очок, яке випало першої кістки, по вертикалі – число очок, що випало другої кістки. Отримаємо таку заготовку (зазвичай я роблю її в Excel, файл ви зможете завантажити):

А що ж у осередках таблиці, запитаєте ви? А це залежить від того, яке завдання ми вирішуватимемо. Буде завдання про суму очок – запишемо туди суму, про різницю – запишемо різницю і таке інше. Приступаємо?

Приклад 3. Одночасно кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що у сумі випаде менше ніж 5 очок.

Спочатку розберемося із загальною кількістю наслідків експерименту. коли ми кидали одну кістку, все було очевидно, 6 граней – 6 результатів. Тут кісток вже дві, тому результати можна представляти як упорядковані пари чисел виду $(x,y)$, де $x$ – скільки очок випало на першій кістці (від 1 до 6), $y$ – скільки очок випало на другій кістці (Від 1 до 6). Очевидно, що всього таких пар чисел буде $n = 6 \ cdot 6 = 36 $ (і їм відповідають 36 осередків у таблиці результатів).

Ось і настав час заповнювати таблицю. У кожен осередок занесемо суму числа очок, що випали на першій і другій кістці, і отримаємо вже ось таку картину:

Тепер ця таблиця допоможемо нам знайти кількість сприятливих подій “у сумі випаде менше 5 очок” результатів. Для цього підрахуємо число осередків, у яких значення суми буде менше 5 (тобто 2, 3 чи 4). Для наочності зафарбуємо ці осередки, їх буде $m=6$:

Тоді ймовірність дорівнює $P=6/36=1/6$.

Приклад 4. Кинуті дві гральні кістки. Визначити можливість, що добуток числа очок ділиться на 3.

Складаємо таблицю творів окулярів, що випали на першій та другій кістці. Відразу виділяємо в ній ті числа, які є кратними 3:

Залишається лише записати, що загальна кількість результатів $n=36$ (див. попередній приклад, міркування такі самі), а число сприятливих результатів (число зафарбованих осередків у таблиці вище) $m=20$. Тоді ймовірність події дорівнює $P=20/36=5/9$.

Як видно, і цей тип завдань при належній підготовці (розібрати ще пару трійку задач) вирішується швидко та просто. Зробимо для різноманітності ще одне завдання з іншою таблицею (всі таблиці можна буде завантажити унизу сторінки).

Приклад 5. Гральну кістку кидають двічі. Знайти ймовірність того, що різниця числа очок на першій та другій кістці буде від 2 до 5.

Запишемо таблицю різниць окулярів, виділимо в ній осередки, в яких значення різниці буде між 2 та 5:

Отже, загальна кількість рівноможливих елементарних результатів $n=36$, а число сприятливих результатів (число зафарбованих осередків у таблиці вище) $m=10$. Тоді ймовірність події дорівнює $P=10/36=5/18$.

Отже, у разі, коли йдеться про кидання 2 кісток і просту подію, потрібно побудувати таблицю, виділити в ній потрібні осередки та поділити їх число на 36, це і буде ймовірністю. Крім завдань на суму, добуток і різницю числа очок, також зустрічаються завдання на модуль різниці, найменше і найбільше число очок, що випало (відповідні таблиці ви знайдете в ).

Інші завдання про кістки та кубики

Звичайно, розібраними вище двома класами задач про кидання кісток справа не обмежується (просто це найчастіше зустрічаються в задачниках і методичках), існують і інші. Для різноманітності та розуміння зразкового способу розв’язання розберемо ще три типові приклади: на кидання 3 гральних кісток, на умовну ймовірність і на формулу Бернуллі.

Приклад 6. Вкидають 3 гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випало 15 очок.

У випадку з трьома гральними кістками таблиці складають вже рідше, тому що їх потрібно буде аж 6 штук (а не одна, як вище), обходяться простим перебором необхідних комбінацій.

Знайдемо загальну кількість результатів експерименту. Виходи можна представляти як упорядковані трійки чисел виду $(x,y,z)$, де $x$ – скільки очок випало на першій кістці (від 1 до 6), $y$ – скільки очок випало на другій кістці (від 1 до 6), $z$ – скільки очок випало на третій кістці (від 1 до 6). Очевидно, що всього таких трійок чисел буде $n = 6 \ cdot 6 \ cdot 6 = 216 $.

Тепер підберемо такі результати, що дають у сумі 15 очок.

Отримали $m=3+6+1=10$ результатів. Шукана можливість $P=10/216=0.046$.

Приклад 7. Вкидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на першій кістці випало не більше чотирьох очок, за умови, що сума очок парна.

Найпростіший спосіб вирішення цього завдання – знову скористатися таблицею (все буде наочно), як і раніше. Виписуємо таблицю сум очок і виділяємо лише осередки з парними значеннями:

Отримуємо, що згідно з умовою експерименту, всього є не 36, а $n=18$ результатів (коли сума очок парна).

Тепер з цих осередківоберемо тільки ті, які відповідають події “на першій кістці випало не більше 4 очок” – тобто фактично осередки в перших 4 рядках таблиці (виділені помаранчевим), їх буде $ m = 12 $.

Шукана ймовірність $P=12/18=2/3.$

Це ж завдання можна вирішити по-іншому, використовуючи формулу умовної ймовірності. Введемо події:
А = Сума числа очок парна
В = На першій кістці випало не більше 4 очок
АВ = Сума числа очок парна і першої кістки випало трохи більше 4 очок
Тоді формула для ймовірності має вигляд: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Знаходимо імовірності. Загальна кількість результатів $n=36$, для події А число сприятливих результатів (див. таблиці вище) $m(A)=18$, а події АВ – $m(AB)=12$. Отримуємо: $ $ P (A) = frac (m (A)) (n) = frac (18) (36) = frac (1) (2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=frac(1/3)(1/2)=frac(2)(3). $$ Відповіді співпали.

Приклад 8. Гральний кубик кинуто 4 рази. Знайти ймовірність того, що парне число очок випаде рівно 3 рази.

У випадку, коли гральний кубик кидається кілька разів, А мова у події йде не про суму, твір тощо. інтегральних характеристик, а лише про кількості випаденьпевного типу, можна для обчислення ймовірності використовувати

Кидають гральні кістки. Як знайти ймовірність . Докладні приклади і метод вирішення

Зазвичай завдання звучить так: кидається одна або кілька гральних кісток (зазвичай 2, рідше 3). Необхідно знайти ймовірність того, що число очок дорівнює 4, або сума очок дорівнює 10, або твір числа очок ділиться на 2, або числа очок відрізняються на 3 і так далі.

Основний метод вирішення подібних завдань – використання формули класичної ймовірності , Який ми і розберемо на прикладах нижче.

Ознайомившись з методами вирішення, ви зможете скачати супер-корисний Excel-файл для розрахунку ймовірності при киданні 2 гральних кісток (з таблицями і прикладами).

Потрібна допомога? Вирішуємо теорію ймовірностей на відмінно Краще спасибі – порекомендувати цю сторінку

Одна гральна кістка

З одного гральною кісткою справа йде до непристойності просто. Нагадаю, що ймовірність знаходиться за формулою $ P = m / n $, де $ n $ – число всіх рівно можливих елементарних наслідків експерименту з підкиданням кубика або кістки, а $ m $ – число тих результатів, які сприяють події.

Приклад 1. Гральний кубик кинуто один раз. Яка ймовірність, що випало парне число очок?

Так як гральна кістка являє собою кубик (ще кажуть, правильна гральна кістка, тобто кубик збалансований, так що випадає на всі грані з однаковою ймовірністю), граней у кубика 6 (з числом очок від 1 до 6, зазвичай позначаються точкам), то і загальне число випадків у завданні $ n = 6 $. Сприяють події тільки такі результати, коли випаде грань з 2, 4 або 6 очками (тільки парні), таких граней $ m = 3 $. Тоді шукана ймовірність дорівнює $ P = 3/6 = 1/2 = 0.5 $.

Приклад 2. Кинутий гральний кубик. Знайти ймовірність випадання не менше 5 очок.

Міркуємо також, як і в попередньому прикладі. Загальна кількість рівно можливих випадків при киданні грального кубика $ n = 6 $, а умові “випало не менше 5 очок”, тобто “випало або 5, або 6 очок” задовольняють 2 результату, $ m = 2 $. Потрібна ймовірність дорівнює $ P = 2/6 = 1/3 = 0.333 $.

Навіть не бачу сенсу наводити ще приклади, переходимо до двох гральних кісток, де все цікавіше і складніше.

Дві гральні кістки

Коли мова йде про завдання з киданням 2 кісток, дуже зручно використовувати таблицю випадання очок. По горизонталі відкладемо число очок, яке випало на першій кістки, по вертикалі – число очок, яке випало на другий кістки. Отримаємо таку заготовку (зазвичай я роблю її в Excel, файл ви зможете скачати нижче ):

А що ж в осередках таблиці, запитаєте ви? А це залежить від того, яке завдання ми будемо вирішувати. Буде завдання про суму очок – запишемо туди суму, про різницю – запишемо різницю і так далі. Приступаємо?

Приклад 3. Одночасно кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що в сумі випаде менше 5 очок.

Спочатку розберемося з загальним числом результатів експерименту. коли ми кидали одну кістку, все було очевидно, 6 граней – 6 випадків. Тут кісток вже дві, тому результати можна представляти як впорядковані пари чисел виду $ (x, y) $, де $ x $ – скільки очок випало на першій кістки (від 1 до 6), $ y $ – скільки очок випало на другий кістки (від 1 до 6). Очевидно, що за все таких пар чисел буде $ n = 6 \ cdot 6 = 36 $ (і їм відповідають якраз 36 осередків в таблиці результатів).

Ось і прийшов час заповнювати таблицю. У кожну клітинку занесемо суму числа очок, що випали на першій і другій кістки і отримаємо вже ось таку картину:

Тепер ця таблиця допоможемо нам знайти число сприятливих події “в сумі випаде менше 5 очок” результатів. Для цього підрахуємо число осередків, в яких значення суми буде менше 5 (тобто 2, 3 або 4). Для наочності закрасимо ці осередки, їх буде $ m = 6 $:

Тоді ймовірність дорівнює: $ P = 6/36 = 1/6 $.

Приклад 4. Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що твір числа очок ділиться на 3.

Складаємо таблицю творів очок, що випали на першій і другій кістки. Відразу виділяємо в ній ті числа, які кратні 3:

Залишається тільки записати, що загальна кількість випадків $ n = 36 $ (див. Попередній приклад, міркування такі ж), а число сприятливих результатів (число зафарбованих клітинок в таблиці вище) $ m = 20 $. Тоді ймовірність події буде рівною $ P = 20/36 = 5/9 $.

Як видно, і цей тип завдань при належній підготовці (розібрати ще пару трійку завдань) вирішується швидко і просто. Зробимо для різноманітності ще одну задачу з іншою таблицею (всі таблиці можна буде скачати внизу сторінки).

Приклад 5. гральні кістки кидають двічі. Знайти ймовірність того, що різниця числа очок на першій і другій кістки буде від 2 до 5.

Запишемо таблицю різниць очок, виділимо в ній осередки, в яких значення різниці буде між 2 і 5:

Отже, що загальне число рівно можливих елементарних фіналів $ n = 36 $, а число сприятливих результатів (число зафарбованих клітинок в таблиці вище) $ m = 10 $. Тоді ймовірність події буде рівною $ P = 10/36 = 5/18 $.

Отже, в разі, коли мова йде про киданні 2 кісток і простому подію, потрібно побудувати таблицю, виділити в ній потрібні комірки і поділити їх число на 36, це і буде ймовірністю. Крім завдань на суму, твір і різниця числа очок, також зустрічаються завдання на модуль різниці, найменше та найбільше випало число очок (відповідні таблиці ви знайдете в файлі Excel ).

Інші завдання про кістки і кубики

Звичайно, розібраними вище двома класами завдань про кидання костей справа не обмежується (просто це найбільш часто зустрічаються в задачниках і методички), існують і інші. Для різноманітності і розуміння зразкового способу вирішення розберемо ще три типових прикладу: на кидання 3 гральних кісток, на умовну ймовірність і на формулу Бернуллі.

Приклад 6. Кидають 3 гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випало 15 очок.

У випадку з 3 гральними кістками таблиці складають вже рідше, так як їх потрібно буде аж 6 штук (а не одна, як вище), обходяться простим перебором потрібних комбінацій.

Знайдемо загальна кількість випадків експерименту. Результати можна представляти як впорядковані трійки чисел виду $ (x, y, z) $, де $ x $ – скільки очок випало на першій кістки (від 1 до 6), $ y $ – скільки очок випало на другий кістки (від 1 до 6), $ z $ – скільки очок випало на третій кістки (від 1 до 6). Очевидно, що за все таких трійок чисел буде $ n = 6 \ cdot 6 \ cdot 6 = 216 $.

Тепер підберемо такі результати, які дають в сумі 15 очок.

Отримали $ m = 3 + 6 + 1 = 10 $ результатів. Шукана ймовірність $ P = 10/216 = 0.046 $.

Приклад 7. Кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на першій кістки випало не більше 4 очок, за умови, що сума очок парна.

Найбільш простий спосіб вирішення цього завдання – знову скористатися таблицею (все буде наочно), як і раніше. Виписуємо таблицю сум очок і виділяємо тільки осередки з парними значеннями:

Отримуємо, що згідно з умовою експерименту, всього їсти не 36, а $ n = 18 $ результатів (коли сума очок парна).

Тепер з цих ячееек виберемо тільки ті, які відповідають події “на першій кістки випало не більше 4 очок” – тобто фактично осередки в перших 4 рядках таблиці (виділені помаранчевим), їх буде $ m = 12 $.

Шукана ймовірність $ P = 12/18 = 2 / 3. $

Цю ж задачу можна вирішити по-іншому, використовуючи формулу умовної ймовірності . Введемо події:
А = Сума числа очок парна
В = На першій кістки випало не більше 4 очок
АВ = Сума числа очок парна і на першій кістки випало не більше 4 очок
Тоді формула для шуканої ймовірності має вигляд: $$ P (B | A) = \ frac . $$ Знаходимо ймовірності. Загальна кількість випадків $ n = 36 $, для події А число сприятливих результатів (див. Таблиці вище) $ m (A) = 18 $, а для події АВ – $ m (AB) = 12 $. Отримуємо: $$ P (A) = \ frac = \ frac = \ frac ; \ Quad P (AB) = \ frac = \ frac = \ frac ; \\ P (B | A) = \ frac = \ frac = \ frac . $$ Відповіді збіглися.

Приклад 8. Гральний кубик кинуто 4 рази. Знайти ймовірність того, що парне число очок випаде рівно 3 рази.

У разі, коли гральний кубик кидається кілька разів, а мова в подію йде не про суму, творі і т.п. інтегральних характеристиках, а лише про кількість випадінь певного типу, можна для обчислення ймовірності використовувати формулу Бернуллі .

Отже, маємо $ n = 4 $ незалежних випробування (кидки кубика), ймовірність випадання парного числа очок в одному випробуванні (при одному кидку кубика) дорівнює $ p = 3/6 = 1/2 = 0.5 $ (див. Вище завдання для однієї гральної кістки ).

Тоді за формулою Бернуллі $ P = P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot (1-p) ^ $, підставляючи $ k = 3 $, знайдемо ймовірність того, що парне число очок з’явиться 3 рази: $$ P_4 (3) = C_4 ^ 3 \ cdot \ left (1/2 \ right) ^ 3 \ cdot \ left (1-1 / 2 \ right) ^ 1 = 4 \ cdot \ left (1/2 \ right) ^ 4 = 1/4 = 0,25. $$

Наведемо ще приклад, можна вирішити аналогічним чином.

Приклад 9. гральні кістки кидають 8 разів. Знайти ймовірність того, що шістка з’явиться хоча б один раз.

Підставляємо в формулу Бернуллі наступні значення: $ n = 8 $ (число кидків), $ p = 1/6 $ (ймовірність появи 6 при одному кидку), $ k \ ge 1 $ (хоча б один раз з’явиться шістка). Перш ніж обчислювати цю ймовірність, нагадаю, що практично всі завдання з формулюванням “хоча б один . ” зручно вирішувати, переходячи до протилежного події “жодного . “. У нашому прикладі спочатку варто знайти ймовірність події “Шестірка чи не з’явиться жодного разу”, тобто $ k = 0 $: $$ P_8 (0) = C_8 ^ 0 \ cdot \ left (1/6 \ right) ^ 0 \ cdot \ left (1-1 / 6 \ right) ^ 8 = \ left (5/6 \ right) ^ 8. $$ Тоді шукана ймовірність буде дорівнює $$ P_8 (k \ ge 1) = 1-P_8 (0) = 1 \ left (5/6 \ right) ^ 8 = 0.767. $$

Корисні посилання

Для наочного і зручного розрахунку ймовірностей в разі кидання двох гральних кісток я зробила
Файл з таблицями для розрахунку ймовірності .

У ньому наведено таблиці суми, твори, різниці, мінімуму, максимуму, модуля різниці числа очок.

Вводячи число сприятливих результатів в спеціальне відділення ви отримаєте розраховану ймовірність (в звичайних і десяткових дробах). Файл відкривається програмою Excel.

Ще по теорії ймовірностей:

Корисна сторінка? Збережи або розкажи друзям

У розв’язнику ви знайдете більше 400 завдань про киданні гральних кісток і кубиків з повними рішеннями (вводите частина тексту для пошуку свого завдання):