Зміст:
- 1 Список математичних символів
- 1.1 Основні математичні символи
- 1.2 Геометрія символи
- 1.3 Символи алгебри
- 1.4 Символи лінійної алгебри
- 1.5 Символи ймовірності та статистики
- 1.6 Символи комбінаторики
- 1.7 Встановити теоретичні символи
- 1.8 Логічні символи
- 1.9 Числення та аналіз символів
- 1.10 Числові символи
- 1.11 Букви грецького алфавіту
- 1.12 Римські цифри
- 1.13 Дивіться також
- 2 Що таке алгебра?
- 3 Алгебричні системи
Список математичних символів
Список усіх математичних символів та знаків – значення та приклади.
Основні математичні символи
Геометрія символи
Символ | Назва символу | Значення / визначення | Приклад |
---|---|---|---|
∠ | кут | утворені двома променями | ∠ABC = 30 ° |
виміряний кут | ABC = 30 ° | ||
сферичний кут | AOB = 30 ° | ||
∟ | прямий кут | = 90 ° | α = 90 ° |
° | ступінь | 1 поворот = 360 ° | α = 60 ° |
град | ступінь | 1 поворот = 360 град | α = 60 град |
′ | прем’єрний | хвилину, 1 ° = 60 ′ | α = 60 ° 59 ′ |
″ | подвійний простий | дугова секунда, 1 ′ = 60 ″ | α = 60 ° 59′59 ″ |
лінія | нескінченна лінія | ||
AB | відрізок | пряма від точки А до точки В | |
промінь | лінія, що починається з пункту А | ||
дуга | дуга від точки А до точки В | = 60 ° | |
⊥ | перпендикулярний | перпендикулярні лінії (кут 90 °) | AC ⊥ до н |
∥ | паралельний | паралельні прямі | AB ∥ CD |
≅ | конгруентний до | еквівалентність геометричних фігур та розмірів | ∆ABC≅ ∆XYZ |
~ | подібність | однакові форми, не однаковий розмір | ∆ABC ~ ∆XYZ |
Δ | трикутник | форма трикутника | ΔABC≅ ΔBCD |
| х – у | | відстань | відстань між точками x і y | | х – у | = 5 |
π | пі-константа | π = 3,141592654 . |
Символи алгебри
Символи лінійної алгебри
Символ | Назва символу | Значення / визначення | Приклад |
---|---|---|---|
· | крапка | скалярний продукт | a · b |
× | хрест | векторний продукт | a × b |
A ⊗ B | тензорний продукт | тензорний добуток A і B | A ⊗ B |
внутрішній продукт | |||
[] | дужки | матриця чисел | |
() | круглі скобки | матриця чисел | |
| A | | детермінанта | визначник матриці A | |
det ( A ) | детермінанта | визначник матриці A | |
|| х || | подвійні вертикальні смуги | норма | |
A T | транспонувати | транспонування матриці | ( A T ) ij = ( A ) ji |
A † | Ермітова матриця | матриця спряженого транспонування | ( A † ) ij = ( A ) ji |
A * | Ермітова матриця | матриця спряженого транспонування | ( A * ) ij = ( A ) ji |
А -1 | обернена матриця | AA -1 = I | |
звання ( A ) | матричний ранг | ранг матриці A | ранг ( A ) = 3 |
тьмяний ( U ) | розмірність | розмірність матриці A | тьмяний ( U ) = 3 |
Символи ймовірності та статистики
Символ | Назва символу | Значення / визначення | Приклад |
---|---|---|---|
P ( A ) | функція ймовірності | ймовірність події A | Р ( А ) = 0,5 |
P ( A ⋂ B ) | ймовірність перетину подій | ймовірність подій А і В | P ( A ⋂ B ) = 0,5 |
P ( A ⋃ B ) | ймовірність подій об’єднання | ймовірність подій A або B | P ( A ⋃ B ) = 0,5 |
P ( A | B ) | функція умовної ймовірності | ймовірність події Дана подія Б сталася | P ( A | B ) = 0,3 |
f ( x ) | функція щільності ймовірності (pdf) | P ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx | |
F ( x ) | функція кумулятивного розподілу (cdf) | F ( x ) = P ( X ≤ x ) | |
μ | середнє населення | середнє значення чисельності населення | μ = 10 |
E ( X ) | значення очікування | очікуване значення випадкової величини X | E ( X ) = 10 |
E ( X | Y ) | умовне очікування | очікуване значення випадкової величини X з урахуванням Y | E ( X | Y = 2 ) = 5 |
змінний ( X ) | дисперсія | дисперсія випадкової величини X | var ( X ) = 4 |
σ 2 | дисперсія | дисперсія значень сукупності | σ 2 = 4 |
std ( X ) | стандартне відхилення | стандартне відхилення випадкової величини X | std ( X ) = 2 |
σ X | стандартне відхилення | значення стандартного відхилення випадкової величини X | σ X = 2 |
медіана | середнє значення випадкової величини x | ||
cov ( X , Y ) | коваріація | коваріація випадкових величин X і Y | cov ( X, Y ) = 4 |
виправлення ( X , Y ) | кореляція | кореляція випадкових величин X і Y | виправлення ( X, Y ) = 0,6 |
ρ X , Y | кореляція | кореляція випадкових величин X і Y | ρ X , Y = 0,6 |
∑ | підсумовування | підсумовування – сума всіх значень в діапазоні рядів | |
∑∑ | подвійне підсумовування | подвійне підсумовування | |
Mo | режимі | значення, яке найчастіше зустрічається в популяції | |
MR | середнього класу | MR = ( x max + x min ) / 2 | |
Md | медіана вибірки | половина населення нижче цього значення | |
Q 1 | нижній / перший квартиль | 25% населення нижче цього значення | |
Q 2 | медіана / другий квартиль | 50% населення нижче цього значення = медіана вибірок | |
Q 3 | верхній / третій квартиль | 75% населення нижче цього значення | |
х | середнє значення вибірки | середнє / середнє арифметичне | x = (2 + 5 + 9) / 3 = 5,333 |
s 2 | дисперсія вибірки | оцінювач дисперсії вибірки сукупності | s 2 = 4 |
s | зразок стандартного відхилення | оцінка стандартного відхилення вибірки сукупності | s = 2 |
z x | стандартний бал | z x = ( x – x ) / s x | |
X ~ | розподіл X | розподіл випадкової величини X | X ~ N (0,3) |
N ( μ , σ 2 ) | нормальний розподіл | гауссовий розподіл | X ~ N (0,3) |
U ( a , b ) | рівномірний розподіл | рівна ймовірність в діапазоні a, b | X ~ U (0,3) |
exp (λ) | експоненціальний розподіл | f ( x ) = λe – λx , x ≥0 | |
гамма ( c , λ) | розподіл гамми | f ( x ) = λ cx c-1 e – λx / Γ ( c ), x ≥0 | |
χ 2 ( k ) | розподіл хі-квадрат | f ( x ) = x k / 2-1 e – x / 2 / (2 k / 2 Γ ( k / 2)) | |
F ( k 1 , k 2 ) | F розподіл | ||
Кошик ( n , p ) | біноміальний розподіл | f ( k ) = n C k p k (1 -p ) nk | |
Пуассон (λ) | Розподіл Пуассона | f ( k ) = λ k e – λ / k ! | |
Geom ( p ) | геометричний розподіл | f ( k ) = p (1 -p ) k | |
HG ( N , K , n ) | гіпергеометричний розподіл | ||
Берн ( p ) | Розподіл Бернуллі |
Символи комбінаторики
Символ | Назва символу | Значення / визначення | Приклад |
---|---|---|---|
п ! | факторіал | п ! = 1⋅2⋅3⋅ . ⋅ n | 5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120 |
n P k | перестановка | 5 Р 3 = 5! / (5-3)! = 60 | |
n C k |
Встановити теоретичні символи
Символ | Назва символу | Значення / визначення | Приклад |
---|---|---|---|
<> | встановити | колекція елементів | A = , B = |
A ∩ B | перехрестя | об’єкти, що належать до множини A і множини B | A ∩ B = |
A ∪ B | союз | об’єкти, що належать до множини A або множини B | A ∪ B = |
A ⊆ B | підмножина | A – підмножина B. множина A входить до множини B. | ⊆ |
A ⊂ B | правильна підмножина / сувора підмножина | A – підмножина B, але A не дорівнює B. | ⊂ |
A ⊄ B | не підмножина | множина A не є підмножиною множини B | ⊄ |
A ⊇ B | надмножина | A – надмножина B. множина A включає множину B | ⊇ |
A ⊃ B | правильна надмножина / сувора надмножина | A – надмножина B, але B не дорівнює A. | ⊃ |
A ⊅ B | не надмірно | множина A не є надмножиною множини B | ⊅ |
2 А | потужність встановлена | усі підмножини A | |
потужність встановлена | усі підмножини A | ||
A = B | рівність | обидва набори мають однакові члени | A = , B = , A = B |
A c | доповнення | всі об’єкти, які не належать до множини A | |
A \ B | відносне доповнення | об’єкти, що належать до А, а не до В | A = , B = , AB = |
A – B | відносне доповнення | об’єкти, що належать до А, а не до В | A = , B = , AB = |
A ∆ B | симетрична різниця | об’єкти, що належать до А чи В, але не до їх перетину | A = , B = , A ∆ B = |
A ⊖ B | симетрична різниця | об’єкти, що належать до А чи В, але не до їх перетину | A = , B = , A ⊖ B = |
a ∈A | елемент, належить | встановити членство | A = , 3 ∈ A |
x ∉A | не елемент | відсутність встановленого членства | A = , 1 ∉ A |
( а , б ) | впорядкована пара | колекція з 2 елементів | |
A × B | декартовий продукт | набір усіх впорядкованих пар з А і В | |
| А | | потужність | кількість елементів множини A | A = , | A | = 3 |
#A | потужність | кількість елементів множини A | A = , # A = 3 |
| | вертикальна смуга | такий, що | A = |
алеф-нуль | нескінченна потужність набору натуральних чисел | ||
алеф-один | потужність набірних порядкових номерів | ||
Ø | порожній набір | Ø = <> | C = |
універсальний набір | набір усіх можливих значень | ||
0 | натуральні числа / цілі числа (з нулем) | 0 = | 0 ∈ 0 |
1 | натуральні числа / цілі числа (без нуля) | 1 = | 6 ∈ 1 |
встановлено цілі числа | = | -6 ∈ | |
набір раціональних чисел | = < x | x = a / b , a , b ∈ > | 2/6 ∈ | |
встановити реальні числа | = < x | -∞ < x | 6,343434∈ | |
набір комплексних чисел | = < z | z = a + bi , -∞ < a b | 6 + 2 i ∈ |
Логічні символи
Символ | Назва символу | Значення / визначення | Приклад |
---|---|---|---|
⋅ | та | та | x ⋅ y |
^ | карет / циркумфлекс | та | х ^ у |
& | амперсанд | та | х & у |
+ | плюс | або | x + y |
∨ | зворотний карет | або | x ∨ y |
| | вертикальна лінія | або | х | р |
х ‘ | одинарна цитата | не – заперечення | х ‘ |
х | бар | не – заперечення | х |
¬ | не | не – заперечення | ¬ х |
! | знак оклику | не – заперечення | ! х |
⊕ | обведений плюс / плюс | ексклюзивний або – xor | x ⊕ y |
~ | тильда | заперечення | ~ х |
⇒ | передбачає | ||
⇔ | еквівалент | тоді і тільки тоді (iff) | |
↔ | еквівалент | тоді і тільки тоді (iff) | |
∀ | для усіх | ||
∃ | існує | ||
∄ | там не існує | ||
∴ | отже | ||
∵ | тому що / оскільки |
Числення та аналіз символів
Символ | Назва символу | Значення / визначення | Приклад |
---|---|---|---|
обмеження | граничне значення функції | ||
ε | епсилон | представляє дуже мале число, близько нуля | ε → 0 |
е | e константа / число Ейлера | e = 2,718281828 . | e = lim (1 + 1 / x ) x , x → ∞ |
y ‘ | похідна | похідна – позначення Лагранжа | (3 x 3 ) ‘= 9 x 2 |
y ” | друга похідна | похідна від похідної | (3 х 3 ) ” = 18 х |
y ( n ) | n-та похідна | в десяткове виведення | (3 х 3 ) (3) = 18 |
похідна | похідна – позначення Лейбніца | d (3 x 3 ) / dx = 9 x 2 | |
друга похідна | похідна від похідної | d 2 (3 x 3 ) / dx 2 = 18 x | |
n-та похідна | в десяткове виведення | ||
похідна від часу | похідна від часу – позначення Ньютона | ||
час друга похідна | похідна від похідної | ||
D x y | похідна | похідна – позначення Ейлера | |
Д х 2 у | друга похідна | похідна від похідної | |
часткова похідна | ∂ ( x 2 + y 2 ) / ∂ x = 2 x | ||
∫ | інтегральний | протилежне виведенню | ∫ f (x) dx |
∫∫ | подвійний інтеграл | інтегрування функції 2 змінних | ∫∫ f (x, y) dxdy |
∫∫∫ | потрійний інтеграл | інтегрування функції 3 змінних | ∫∫∫ f (x, y, z) dxdydz |
∮ | замкнений контур / лінія інтеграл | ||
∯ | замкнутий поверхневий інтеграл | ||
∰ | замкнутий об’ємний інтеграл | ||
[ а , б ] | замкнутий інтервал | [ a , b ] = < x | a ≤ x ≤ b > | |
( а , б ) | відкритий інтервал | ( a , b ) = < x | a < x < b > | |
я | уявна одиниця | i ≡ √ -1 | z = 3 + 2 i |
z * | складний спряжений | z = a + bi → z * = a – bi | z * = 3 – 2 i |
z | складний спряжений | z = a + bi → z = a – bi | z = 3 – 2 i |
Re ( z ) | дійсну частину комплексного числа | z = a + bi → Re ( z ) = a | Re (3 – 2 i ) = 3 |
Im ( z ) | уявна частина комплексного числа | z = a + bi → Im ( z ) = b | Im (3 – 2 i ) = -2 |
| z | | абсолютне значення / величина комплексного числа | | z | = | a + bi | = √ ( a 2 + b 2 ) | | 3 – 2 я | = √13 |
аргумент ( z ) | аргумент комплексного числа | Кут радіуса в комплексній площині | arg (3 + 2 i ) = 33,7 ° |
∇ | набла / дел | оператор градієнта / розбіжності | ∇ f ( x , y , z ) |
вектор | |||
одиниця вектора | |||
х * у | згортка | y ( t ) = x ( t ) * h ( t ) | |
Перетворення Лапласа | F ( s ) = < f ( t )> | ||
Перетворення Фур’є | X ( ω ) = < f ( t )> | ||
δ | дельта-функція | ||
∞ | лемніскат | символ нескінченності |
Числові символи
Ім’я | Західноарабська | Роман | Східноарабська | Іврит |
---|---|---|---|---|
нуль | 0 | ٠ | ||
один | 1 | Я | ١ | א |
два | 2 | II | ٢ | ב |
три | 3 | III | ٣ | ג |
чотири | 4 | IV | ٤ | ד |
п’ять | 5 | V | ٥ | ה |
шість | 6 | VI | ٦ | ו |
сім | 7 | VII | ٧ | ז |
вісім | 8 | VIII | ٨ | ח |
дев’ять | 9 | IX | ٩ | ט |
десять | 10 | X | ١٠ | י |
одинадцять | 11 | XI | ١١ | יא |
дванадцять | 12 | XII | ١٢ | יב |
тринадцять | 13 | XIII | ١٣ | יג |
чотирнадцять | 14 | XIV | ١٤ | יד |
п’ятнадцять | 15 | XV | ١٥ | טו |
шістнадцять | 16 | XVI | ١٦ | טז |
сімнадцять | 17 | XVII | ١٧ | יז |
вісімнадцять | 18 | XVIII | ١٨ | יח |
дев’ятнадцять | 19 | XIX | ١٩ | יט |
двадцять | 20 | XX | ٢٠ | כ |
тридцять | 30 | XXX | ٣٠ | ל |
сорок | 40 | XL | ٤٠ | מ |
п’ятдесят | 50 | L | ٥٠ | נ |
шістдесят | 60 | LX | ٦٠ | ס |
сімдесят | 70 | LXX | ٧٠ | ע |
вісімдесят | 80 | LXXX | ٨٠ | פ |
дев’яносто | 90 | XC | ٩٠ | צ |
сто | 100 | C | ١٠٠ | ק |
Букви грецького алфавіту
Прописна літера | Мала літера | Назва грецької букви | Англійський еквівалент | Вимова імені букви |
---|---|---|---|---|
Α | α | Альфа | a | аль-фа |
Β | β | Бета | б | бе-та |
Γ | γ | Гамма | g | га-ма |
Δ | δ | Дельта | d | дель-та |
Ε | ε | Епсилон | е | еп-сі-лон |
Ζ | ζ | Зета | z | зе-та |
Η | η | Ета | h | е-та |
Θ | θ | Тета | го | те-та |
Ι | ι | Йота | я | йо-та |
Κ | κ | Каппа | k | ка-па |
Λ | λ | Лямбда | л | лам-да |
Μ | μ | Му | м | м-ю |
Ν | ν | Ну | n | ноо |
Ξ | ξ | Сі | х | x-ee |
Ο | ο | Омікрон | o | о-мі-с-рон |
Π | π | Пі | p | па-ї |
Ρ | ρ | Ро | r | рядок |
Σ | σ | Сигма | s | сиг-ма |
Τ | τ | Тау | t | та-оо |
Υ | υ | Апсілон | u | оо-пси-лон |
Φ | φ | Phi | ph | f-ee |
Χ | χ | Чі | ch | kh-ee |
Ψ | ψ | Псі | ps | р-див |
Ω | ω | Омега | o | о-ме-га |
Римські цифри
Кількість | Римська цифра |
---|---|
0 | не визначено |
1 | Я |
2 | II |
3 | III |
4 | IV |
5 | V |
6 | VI |
7 | VII |
8 | VIII |
9 | IX |
10 | X |
11 | XI |
12 | XII |
13 | XIII |
14 | XIV |
15 | XV |
16 | XVI |
17 | XVII |
18 | XVIII |
19 | XIX |
20 | XX |
30 | XXX |
40 | XL |
50 | L |
60 | LX |
70 | LXX |
80 | LXXX |
90 | XC |
100 | C |
200 | КК |
300 | CCC |
400 | CD |
500 | D |
600 | Постійного струму |
700 | DCC |
800 | DCCC |
900 | СМ |
1000 | М |
5000 | V |
10000 | X |
50000 | L |
100000 | C |
500000 | D |
1000000 | М |
Дивіться також
- Символи алгебри
- Геометрія символи
- Статистичні символи
- Логічні символи
- Встановити теоретичні символи
- Числення та аналіз символів
- Цифрові символи
- Символи грецького алфавіту
- Римські цифри
- Нескінченність символ
- Коди символів HTML
- Математичні калькулятори
Що таке алгебра?
Алгебра виникла з потреби розв’язувати рiвняння. Сьогоднi, коли ми говоримо про алгебру, то бiльше не думаємо лише про рiвняння, а працюємо з виразами зi змiнними в них. Ось приклад алгебраїчного виразу:
Але що насправдi означає 4 x ?
Перше, що потрiбно знати, — це те, що коли число й змiнна стоять поруч, як у виразi вище, мiж ними стоїть невидимий знак множення. Поглянь:
4 x означає, що в тебе є чотири x . З погляду математики цей вираз можна розглянути так:
Добутки чисел та змiнних
У виразi a x a означає, скiльки разiв по x ми маємо. Отже, лiтера a означає число. Ми використовуємо лiтеру, щоб пояснити число, оскiльки не знаємо точно, що це за число. Якби замiсть a ми записали число, наприклад 4 , то описали б лише один можливий випадок.
Ми використовуємо лiтеру, щоб показати, що формула застосовується незалежно вiд кiлькостi x , яку ми маємо! Це означає, що a може бути будь-яким числом.
Зверни увагу на приклади та переконайся, що розумiєш, що вiдбувається.
Запиши 2 a у виглядi суми
Алгебричні системи
У елементарній алгебрі розглядаються різні конкретні множини: множина цілих, раціональних, дійсних й комплексних чисел, множина поліномів, дробово-раціональних функцій тощо. Над елементами цих множин виконуються операції, які називаються алгебричними. Загальне визначення алгебричної операції можна сформулювати наступним чином. Нехай A – множина. Говорять, що у A визначена алгебрична операція, якщо вказаний закон, за яким будь-яким двом (різним або однаковим) елементам a 1 > та a 2 > цієї множини, взятим у певному порядку, ставиться у відповідність цілком визначений елемент цієї ж множини A . У цьому формулюванні містяться вимоги щодо однозначності операції та її виконуваності для будь-яких двох елементів даної множини. Тут міститься також вказівка на порядок, у якому беруться елементи a 1 > та a 2 > множини A при виконанні над ними операції. Це значить, що елементам ( a 1 , a 2 ) ,a_)> та ( a 2 , a 1 ) <\displaystyle (a_,a_)> можуть бути поставлені у відповідність різні елементи цієї множини A . Таким чином, алгебрична операція, визначена у множині A , може бути некомутативною.
На думку відомого американського математика Майкла Атії, що для будь-якої алгебричної системи необхідне виконання послідовних операцій (додавання, віднімання тощо) та що ці операції сприймаються як виконувані одна за іншою. Іншими словами, алгебрі необхідний час, щоб надати їй змісту, що визначає її метафізичність (грец. Τά μετά τά φυσικά – “те, що понад фізикою”). У царині фізики геометрія займається дослідженням простору, алгебра досліджує час, а математичний аналіз – континуум.
Алгебричну операцію, визначену у множині A , можна назвати додаванням, і тоді a 3 > називають сумою елементів a 1 > та a 2 , ,> символічно записуючи a 1 + a 2 = a 3 ; +a_=a_;> її можна назвати й добутком елементів a 1 > та a 2 , ,> символічно a 1 ⋅ a 2 = a 3 . \cdot a_=a_.> Операції додавання й віднімання виконуються у багатьох числових множинах, що розглядаються у елементарній алгебрі. Вони також алгебричні, однак їх не варто вважати новими незалежними діями, оскільки вони можуть бути визначені через операції додавання й множення. Наприклад, ми говоримо, що у множині A (у якій вже визначена операція додавання) виконується операція віднімання, якщо для будь-якої пари a 1 , a 2 ,a_> цієї множини існує у цій множині єдиний елемент a 4 > такий, що a 2 + a 4 = a 1 . +a_=a_.> Елемент a 4 > називається різницею елементів a 1 > та a 2 , ,> формально a 4 = a 1 − a 2 . =a_-a_.> Таким самим чином, у множині A (у якій вже визначена операція множення) виконується операція ділення, якщо для будь-яких двох елементів a 1 > та a 2 > цієї множини існує єдиний елемент a 5 > такий, що a 2 ⋅ a 5 = a 1 . \cdot a_=a_.> Елемент a 5 > називається часткою елементів a 1 > та a 2 > й позначається a 5 = a 1 a 2 =<\frac
Таким чином, операції віднімання й ділення визначаються посередництвом операцій додавання й віднімання. Операції віднімання й діленя називаються зворотними (оберненими) операціями відповідно додавання й множення.
Піднесення до цілого степеня й взяття кореня – алгебричні операції, які також можуть бути визначеними через уведені раніше. Тобто піднесення до цілого додатного степеня n зводиться до добутку a n = a ⋅ a ⋅ ⋅ ⋅ a ⏟ n множників , =\underbrace _>>,> а операція взяття кореня степені n з чисел є зворотною до операції піднесення до степеня.
З визначення числових систем зрозуміло, що є множини, у яких додавання й множення визначені, а віднімання і ділення – ні. Такою є, наприклад, множина натуральних чисел. У множині цілих чисел (додатних й від’ємних) визначена операція додавання і виконується зворотна до неї операція – операція віднімання. У множині відмінних від нуля раціональних чисел визначена операція множення й виконується зворотна до неї операція – операція ділення.
Найпростішою алгебричною (екваціональною) системою є структура, яка є моделлю системи аксіом-рівностей, наприклад, як у теорії груп:
для усіх a , b , c ∈ M системи ⟨ M , ⋅ ⟩ . Такі моделі будуть розглянуті у підрозділі, присвяченому основним поняттям теорії категорій.
Кільце [ ред. ]
Непуста множина K ≠ ∅ називається кільцем, якщо у ній визначені операції додавання й множення, які підпорядковуються наступним законам:
- комутативність операції додаваня: a + b = b + a
- асоціативність операції додавання: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- для операції додавання у множині K виконується зворотна до неї операція – віднімання
- операція множення асоціативна, тобто для a , b ∈ K справджується рівність ( a b ) c = a ( b c ) .
- множення дистрибутивне відносно додавання: ( a + b ) c = a c + b c , c ( a + b ) = c a + c b .
Кільце називається комутативним, якщо операція множення комутативна, тобто якщо a b = b a для усіх a , b ∈ K .
Прикладами кілець є множина цілих чисел, множина парних чисел, множина раціональних чисел, множина поліномів.
У будь-якому кільці міститься єдиний елемент 0 такий, що сума будь-якого іншого елемента a із 0 дає у сумі знову a , тобто a + 0 = a . Елемент 0 називається нулем кільця. Крім того, для будь-якого елемента a кільця у кільці існує елемент − a такий, що a + ( − a ) = 0. Елемент − a називається протилежним елементу a .
Ідемпотент у кільці – це елемент, який задовільняє співвідношенню e 2 = e . =e.> Булеве кільце (комутативне кільце із одиницею) є кільцем, у якому будь-який елемент є ідемпотентом. У булевому кільці виконується співвідношення 2 x = 0 для будь-якого x . Справді, 0 = ( x + 1 ) 2 − x − 1 = ( x 2 − x ) + 2 x = 2 x . -x-1=(x^-x)+2x=2x.>
У цільці із одиницею e для елемента a ≠ 0 може існувати зворотний до нього елемент a − 1 > із властивістю a a − 1 = a − 1 a = e . =a^a=e.> Елементи кільця із одиницею, для яких у цьому кільці існує зворотний елемент, називається кільцем дільника одиниці. Зокрема, у кільці усіх квадратних матриць порядку n , тобто A n × n , ,> одиницею є одинична матриця E , для якої A E = E A = A . Зворотний елемент A − 1 <\displaystyle A^> існує для будь-якої невиродженої матриці; для вироджених матриць зворотних до них елементів не існує.
Ізоморфізми та гомоморфізми кілець [ ред. ]
Кільця K 1 > та K 2 > називають ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність таку, що якщо елементам a 1 , a 2 ∈ K 1 ,a_\in K_> відповідають елементи b 1 , b 2 ∈ K 2 , <\displaystyle b_,b_\in K_,> то елементові ( a 1 + a 2 ) <\displaystyle (a_+a_)> відповідає елемент ( b 1 + b 2 ) <\displaystyle (b_+b_)> та елементові ( a 1 a 2 ) <\displaystyle (a_a_)> відповідає елемент ( b 1 b 2 ) . <\displaystyle (b_b_).>
Кільце K 1 > є гомоморфно відображеним у кільце K 2 , ,> якщо кожному елементові кільця a ∈ K 1 > ставиться у відповідність однозначно визначений елемент кільця b ∈ K 2 , ,> причому якщо елементам a 1 , a 2 ∈ K 1 ,a_\in K_> відповідають елементи b 1 , b 2 ∈ K 2 , <\displaystyle b_,b_\in K_,> то елементові a 1 + a 2 +a_> відповідає b 1 + b 2 , <\displaystyle b_+b_,> а елементові a 1 a 2 a_> відповідає елемент b 1 b 2 . <\displaystyle b_b_.> У випадку, якщо кожний елемент кільця K 2 > має хоча б один образ у K 1 , ,> то говорять про гомоморфне відображення кільця K 1 > на кільце K 2 > ; гомоморфізм у цьому випадку називають епіморфізмом.
Наприклад, якщо кожному поліномові P ( x ) від однієї змінної x із довільними комплексними коефіцієнтами α 1 , α 2 , . . . , α n ,\alpha _. \alpha _> поставити у взаємно однозначну відповідність вільний член цього полінома, то одержимо гомоморфне відображення кільця усіх поліномів із комплексними коефіцієнтами α 1 , α 2 , . . . , α n ,\alpha _. \alpha _> на систему комплексних чисел C . .>
Якщо кільце K 1 > гомоморфно (ізоморфно) відображене на кільце K 2 , ,> причому кільце K 1 > є асоціативним, то тоді й кільце K 2 > є асоціативним; якщо кільце K 1 > є комутативним, то й K 2 > є комутативним; якщо кільце K 1 > із одиницею, то й K 2 > у цьому випадку буде також кільцем із одиницею, причому одиницею кільця K 2 > буде образ одиниці кільця K 1 . .>
У випадку, якщо кільце може бути гомоморфно (ізоморфно) відображене на декотру множину M , на якій визначені дві алгебричні операції, то множина M сама є кільцем відносно цих двох операцій.
Якщо кільце K 1 > гомоморфно відображене у кільце K 2 , ,> то множина усіх елементів a i ∈ K 1 , \in K_,> які переходять у нульовий елемент 0 ∈ K 2 , ,> називається ядром цього гомоморфізму.
Поле [ ред. ]
Комутативне кільця, що містить принаймні один відмінний від нуля елемент, у якому виконується операція ділення, окрім ділення на нуль, називається полем. Прикладами полів є множина раціональних чисел, множина дійсних чисел, множина комплексних чисел, множина дробово-раціональних функцій. Алгебрична геометрія у значній мірі базується на комутативній алгебрі, яка вивчає комутативні кільця й поля.
У будь-якому полі існує єдиний елемент e (одиниця поля) такий, що для будь-якого елемента a даного поля a ⋅ e = a . Крім того, для будь-якого елемента a даного поля існує єдиний зворотний елемент a − 1 > такий, що a ⋅ a − 1 = e . =e.>
Таким чином, у будь-якому полі добуток двох елементів дорівнює нулю лише тоді, коли принаймні один з співмножників дорівнює нулю.
Впорядковане поле. У впорядкованих полях визначене відношення порядку, яке доцільно пов’язане із алгебричними операціями, визначеними у полі. Впорядковане поле можна визначити наступним чином. Поле P називається впорядкованим, якщо для його елементів визначене відношення порядку a < b (" a менше b ") із наступними властивостями:
Останні дві властивості пов’язують відношення порядку із операціями, визначеними у полі. Передостання властивість називається законом монотонності додавання, а остання – законом монотонності множення.
Якщо a < b , то говорять, що b більше від a , формльно b > a . a.> Визначене таким чином відношення a > b b> у впорядкованому полі P має наступні властивості:
До основи визначення впорядкованого поля можна також покласти a > b b> й визначити впорядковане поле наступним чином: поле P є впорядкованим, якщо для його елементів встановлене відношення a > b b> (” a більше b “), яке задовільняє чотирьом наведеним його властивостям. Таким чином, поле, впорядковане відношенням < може бути впорядковане й зворотним відношенням > . .>
Елемент a впорядкованого поля називається додатним, якщо він більший від нуля, a > 0 ; 0;> його називають від’ємним, якщо він менший від нуля a
Елемент a впорядкованого поля P лише тоді більший від елемента b , коли a − b > 0. 0.> Справді, якщо a − b > 0 , 0,> то ( a − b ) + b > 0 + b , 0+b,> тобто a > b . b.> І навпаки, якщо a > b , b,> то a + ( − b ) > b + ( − b ) , b+(-b),> тобто a − b > 0. 0.>
З властвості (e) слідує, що поле комплексних чисел не може бути впорядкованим; справді, у цьому полі є числа i та 1 , сума квадратів яких дорівнює нулю ( i 2 = − 1 =-1> та 1 2 = 1 , =1,> сума i 2 + 1 2 = 0 +1^=0> ), чого в силу властивості (e) у впорядкованому полі бути не може.
Нормування полів [ ред. ]
Нормування поля P називається архімедовим, якщо функція нормування | | v : P → R :P\to \mathbb > задовільняє наступним умовам:
- | x | v ≥ 0 , \geq 0,> причому x = 0 лише у випадку, якщо x = 0 ;
- | x y | v = | x | v | y | v =|x|_|y|_>
- | x + y | v ≤ | x | v + | y | v . <\displaystyle |x+y|_\leq |x|_+|y|_.>
За неархімедового нормування остання умова замінюється на більш сильну:
Наприклад, архімедове нормування на Q > – нормування | | ∞ , ,> індуковане абсолютною величиною. Просте число p є цілим додатним числом, яке не має дільників, окрім самого себе й одиниці. Кожне ціле число може єдиним чином бути розкладене у добуток простих за основною теоремою арифметики. Простих чисел є нескінченна кількість, вони розподілені нерегулярно. За теоремою Островського, простими числами можна описати способи увести поняття неперервності на множині Q . .> Розгляньмо функцію | a | p > від раціонального числа a ∈ Q , ,> яка задовільняє наступній умові: для усіх c , d ∈ Z , ,> які не діляться на p , одержимо рівність | a | p = p − n , =p^,> якщо a = p n c d − 1 . cd^.> Ця функція має властивість норми, зокрема | a d | p = | a | p | b | p =|a|_
|b|_
> та | a + b | p ≤ max ( | a | p , | b | p ) . \leq \max(|a|_
,|b|_
).> Ця норма визначає на множині Q > топологію, у якій a i → 0 , \to 0,> якщо | a i | p → 0. |_
\to 0.> Така топологія називається p -адичною, а додавання й множення є p -адично неперервними, відстак можна визначити фундаментальні послідовності й множину границь таких послідовностей, які називаються p -адичними числами. Множина p -адичних чисел є аналогією до дійсних чисел R > і конструюються на основі поняття абсолютної величини, яку позначають | a | ∞ . .> Повертаючись до теореми Островського, необхідно відзначити, що вона стверджує, що будь-яке нормування на множині Q > задає таку саму топологію, що й | | ∞ > (архімедове нормування) чи | | p > ( p -адичне нормування). Два нормування | | 1 > та | | 2 > на полі P є еквівалентними, якщо вони індукують на цьому полі однакову топологію, тобто | | 1 = | | 2 λ =||_^<\lambda >> для відповідного додатного дійсного числа λ . Аналогія між Q p _
> та R > є неповною, оскільки p -адичні числа утворюють польський простір (зокрема, множину Кантора, або, іншими словами, фрактал).
Формула | a | ∞ = ∏ p | a | p − 1 =\prod _
|a|_
^> означає, що знання звичайної абсолютної величини раціонального числа є еквівалентним знанню усіх його p -адичних величин. Іншими словами, ∏ ν | a | ν = 1 , |a|_=1,> де ν = ∞ чи p = 2 , 3 , 5 , 7 , . . . . У цій формулі розглядається раціональне число a , яке чергується як дійсне, 2 -адичне, 3 -адичне тощо. Нескінченні вектори ( a 1 , a 2 , . . . ) , ,a_. ),> де a ∞ ∈ R \in \mathbb > та a p ∈ Q p , \in \mathbb _
,> називаються аделем, якщо | a | p ≤ 1 \leq 1> для достатньо великих простих чисел p . Компонентами аделя α = ( a ν ) <\displaystyle \alpha =(a_)> є дійсна компонента a ∞ > та p -адичні p для усіх p . Множина усіх аделей утворює топологічне кільце A Q <\displaystyle A_<\mathbb >> з покомпонентними додаванням й добутком, комбінуючи у собі архімедові й фрактальні властивості.
Група [ ред. ]
Групою називається множина G , на якій визначена бінарна операція (тобто тернарне відношення G 3 , ,> або відображення G × G → G ), що називається множенням і позначається a ⋅ b (або із опусканням знаку множення, тобто a b ), маючи наступні властивості:
- асоціативність: для довільних елементів a , b , c ∈ G виконується a ( b c ) = ( a b ) c ;
- існування нейтрального елемента (ідемпотента): існує елемент e ∈ G такий, що для кожного елемента a ∈ G виконується e a = a e = a ;
- існування оберненого елемента: для кожного елемента a ∈ G існує елемент a − 1 > такий, що a − 1 a = a a − 1 = e . a=aa^=e.>
Якщо операція має властивість комутативності, тобто a b = b a для довільних a , b ∈ G , то вона називається абелевою. Якщо чисельність G є скінченною, то група називається скінченною (у протилежному випадку – нескінченною). Чисельність елементів G називається порядком групи.
Для визначення усіх елементів групи буває достатньо взяти лише декотрі з них, а інші отримуються шляхом їх перемноження. Ті елементи, за допомогою яких можна отримати повний набір елементів даної групи, називаються утворюючими елементами групи (або генераторами групи).
Прикладом групи є система ⟨ Z , + ⟩ , ,+\rangle ,> що складається з множини цілих чисел та визначеної на ній операції додавання. Справді, для кожного елемента m цієї множини існує протилежний до нього − m , відтак m − m = 0. Таким чином, ідемпотентом у цій групі є число e = 0 (взагалі, число 0 вважається протилежним самому собі). Операція додавання на множині цілих чисел підпорядковується комутативному й асоціативному законам:
Таким чином, група ⟨ Z , + ⟩ ,+\rangle > є абелевою (комутативною).
Комутативна група G є кільцем, якщо у G визначена ще одна операція – добутку, яка наділена переставною, сполучною й розподільною властивостями:
- переставна властивість: a b = b a ;
- сполучна властивість: a ( b c ) = ( a b ) c ;
- розподільна властивість (відносно додавання): a ( b + c ) = a b + a c .
Варто зауважити, що розподільна властивість може бути лівою чи правою, тобто:
для будь-яких a , b та c , які містяться у G . У комутативному кільці ⟨ Z , + , ⋅ ⟩ ,+,\cdot \rangle > обидва (лівий та правий) варіанти розподільності співпадають, однак у загальному випадку їх завжди потрібно розрізняти, оскільки операція добутку може бути некомутативною (як у випадку добутку матриць), тобто за a b ≠ b a .
Візьмімо довільний елемент a i ∈ G \in G> й утворімо різні степені цього елемента: a i , a i 2 , a i 3 , . . . , ,a_^,a_^. > де a i 2 = a i ⋅ a i , a i 3 = a i ⋅ a i ⋅ a i ^=a_\cdot a_,\,\,\,a_^=a_\cdot a_\cdot a_> тощо. Якщо група скінченна то члени цієї послідовності будуть повторюватися. У такому випадку говорять, що множина G замкнута відносно операції множення.
Розгляньмо множину C = < 1 , − 1 , i , − i >>=\> та операцію множення, визначену на цій множині, тобто систему ⟨ C , ⋅ ⟩ . >,\cdot \rangle .> Складемо таблицю множення для цієї системи. Можна помітити, що множина C >> замкнута відносно операції множення. Ідемпотентом є одиниця e = 1.
Найменший показник степені h , за якого справджується рівність a i h = e ^=e> називається порядком елемента a i ∈ G . \in G.> Сукупність елементів a i , a i 2 , a i 3 , . . . , a i h ,a_^,a_^. a_^> є циклом (періодом) елемента a i . .> Період (цикл) елемента a i > утворює підгрупу групи G . Підгрупа є комутативною. Для кожного елемента визначений зворотний: ( a i k ) − 1 = a i h − k ( k < h ) . <\displaystyle (a_^)^=a_^\,\,\,(k
Розгляньмо підмножину P ⊆ C , >\subseteq <\mathfrak
Можна помітити, що підмножина P ⊆ C >\subseteq <\mathfrak
Нехай G – довільна група та a є одним з її елементів, a ∈ G . Кожний елемент b , який визначається як b = g − 1 a g , ag,> де g ∈ G , називається спряженим із елементом a . Ще говорять, що елемент b отримується шляхом трансформування елемента a за допомогою елемента g . Позначмо відношення спряженості символом ∼ , тобто b ∼ a . Це відношення ∼ має наступні властивості:
- кожний елемент є спряженим самому собі, тобто a ∼ a (рефлексивність відношення ∼ ), оскільки a = e − 1 a e ae> ;
- якщо b ∼ a , то a ∼ b (симетричність відношення ∼ ), оскільки з рівності b = g − 1 a g ag> слідує, що a = g b g − 1 = ( g − 1 ) − 1 b g − 1 =(g^)^bg^> ;
- якщо a ∼ b та b ∼ c , то a ∼ c (транзитивність відношення ∼ ), оскільки з a = g 1 − 1 b g 1 ^bg_> та b = g 2 − 1 c g 2 ^cg_> слідує, що a = g 1 − 1 g 2 − 1 c g 2 g 1 = ( g 2 g 1 ) − 1 c ( g 2 g 1 ) . ^g_^cg_g_=(g_g_)^c(g_g_).>
Таким чином, відношення спряженості ∼ є рефлексивним, симетричним й транзитивним, а значить, воно є відношенням еквівалентності й визначає розбиття групи G на непересічні підмножини – класи спряжених між собою елементів. Множина елементів, спряжених із даним елементом a (тобто елементів виду g − 1 a g , ag,> де g ∈ G ), позначається [ a ] . Таким чином, a ∈ [ a ] . Число елементів у класі називається порядком класу. Будь-яка скінченна група може бути розбита на декілька класів спряжених елементів.
Одиничний елемент (тобто ідемпотент e ) завжди сам по собі утворює клас, оскільки g − 1 e g = e eg=e> за будь-якого g ∈ G . Взагалі кажучи, кожний елемент, переставний із усіма іншими елементами групи, утворює окремий клас. У абелевій (комутативній) групі кожний елемент утворює окремий клас, а значить, у комутативній групі число класів спряжених елементів дорівнює порядку групи. У некомутативній групі число класів менше від порядка групи.
Порядки спряжених між собою елементів є однаковими. Справді, якщо a h = e =e> та b = g − 1 a g , ag,> то b h = g − 1 a g ⋅ g − 1 a g ⋅ ⋅ ⋅ g − 1 a g = g − 1 a h g = e . =g^ag\cdot g^ag\cdot \cdot \cdot g^ag=g^a^g=e.> І навпаки, якщо b n = e , =e,> то й a n = e , =e,> порядки елементів a та b є однаковими.
Підгрупи [ ред. ]
Підмножина A групи G називається підгрупою, якщо разом із кожним елементом a ∈ A вона містить також зворотний до нього елемент a − 1 > та разом із кожними двома a , b ∈ A містить їх добуток a b . Ці дві вимоги можуть бути виражені однією: для довільних елементів a , b ∈ A елемент a b − 1 > повинен міститися у A . Будь-яка підгрупа групи G , у свою чергу, сама є групою відсносно операції, яка визначена у G .
У будь-якій групі підмножина, яка складається лише з елемента e групи, є підгрупою. Цю підгрупу називають одиничною підгрупою даної групи. Сама група G також завжди є своєю підгрупою, а будь-яка підгрупа, відмінна від усієї групи, називається істинною підгрупою групи G .
Циклічні групи [ ред. ]
Елемент g ∈ G та усі його степені ( g n > за n > 0 0> – добуток елементів, який дорівнює g , а g − n > – добуток n елементів, рівних g − 1 > ), то також одержимо підгрупу групи G . Ця підгрупа називається циклічною підгрупою, породженою елементом g . Якщо циклічна підгрупа співпадає із усією групою G , то й сама група G називається циклічною групою.
Якщо для елемента g ∈ G існує таке натуральне число n , що g n = e , =e,> то g називається елементом скінченного порядку. Найменший елемент n із властивістю g n > називається порядком елемента g . Якщо немає такого натурального числа n , для якого g n = e , =e,> то g називається елементом нескінченного порядку; у цьому випадку усі степені елемента g (разом із від’ємними) є різними; зокрема, жодний степінь не дорівнює e , окрім g 0 = e . =e.>
У випадку, коли елемент g ∈ G має нескінченний порядок, то циклічна підгрупа групи G є нескінченною. Якщо g має порядок n , то підгрупа групи G також має порядок; підрупа у цьому випадку складається із різних елементів e , g , g 2 , . . . , g n − 1 , . g^,> яким дорівнюють усі інші степені елемента g , як додатні, так й від’ємні.
Послідовності підгруп [ ред. ]
Нехай M – непуста підмножина групи G . Сукупність елементів групи G , які дорівнюють добуткам (додатний й від’ємних) степенів елементів m ∈ M (до кожного добутку входить скінченне число множників), утворюють підгрупу групи G . Ця підгрупа називається підгрупою, яка породжена множиною M й позначається < M >> . Елемент підгрупи < M >> має вигляд m α 1 k 1 ⋅ ⋅ ⋅ m α n k n , >^>\cdot \cdot \cdot m_>^>,> де кожне k i > за i = 1 , n ¯ >> є цілим числом, а m α 1 , . . . , m α n >. m_>> – елементи множини M . Серед елементів m α 1 , . . . , m α n >. m_>> можуть бути й однакові, зокрема m 1 2 , m 2 − 1 , m 1 − 3 , m 3 , m 2 2 ∈ < M >, ^,m_^,m_^,m_,m_^\in \,> якщо m 1 , m 2 , m 3 ∈ M . ,m_,m_\in M.> Підгрупа < M >> міститься у будь-якій підгрупі групи G , яка містить цілком множину M , та є перетином усіх підгруп групи G , які містять M .
Множину M називають системою генераторів (утворюючих) підгрупи < M >. .> У випадку, коли підгрупа < M >> співпадає із усією групою G , то M є системою утворюючих групи G . Якщо множина M скінченна, то G називається групою із скінченною системою генераторів. Зокрема, наприклад, множина усіх елементів групи G завжди є її системою генераторів.
У випадку, коли множина M складається лише одного елемента, то породжена цим елементом підгрупа є циклічною підгрупою, породженою цим елементом. Якщо множина M складається з усіх елементів, які належать декотрим підгрупам A , B , C , . . . групи G , то підгрупа < M >> є підгрупою, яка породжена заданими підгрупами, і позначається < A , B , C , . . . >. .> Підгрупа, яка є породженою декотрою множиною підгрупа групи G , складається з усіх елементів групи, які дорівнюють добуткам елементів, які належать до цих підгруп. Зокрема, така підгрупа є мінімальною підгрупою групи G , яка містить усі задані пігрупи.
Нехай A 1 , A 2 , . . . , A n , . . . ,A_. A_. > – підгрупи групи G такі, що A 1 ⊆ A 2 ⊆ . . . ⊆ A n ⊆ . . . \subseteq A_\subseteq . \subseteq A_\subseteq . > (зростаюча послідовність підгруп). У цьому випадку підгрупа, яка породжена цими підгрупами, співпадає із множиною усіх елементів групи G , кожний з яких належить хоча б до однієї з цих підгруп, і називається об’єднанням зростаючої послідовності підгруп. Наприклад, адитивна група усіх раціональних чисел – об’єднання зростаючої послідовності своїх циклічних підгруп: < 1 >⊂ < 1 2 >⊂ < 1 6 >⊂ . . . < 1 n ! >⊂ . . . . \subset \>\>\subset \>\>\subset . \>\>\subset . \,.>
Гомоморфізми та ізоморфізми груп [ ред. ]
Для вирішення задач буває зручно представляти елементи групи G елементами деякої іншої групи G ~ , >,> які задовільняють тій самій таблиці множення, що й елементи групи G . При цьому якщо між елементами групи G та G ~ >> встановлюється бієктивна відповідність (взаємно однозначне відображення) g i ↔ g ~ i , \leftrightarrow >_,> що не змінюється за групового множення:
то такі групи G та G ~ >> називаються ізоморфними. Відношення ізоморфізму наділене властивостями рефлексивності, симетрії й транзитивності й позначається символами ≃ чи ↔ . Нехай M , P , Q – довільні множини. Тоді:
Якщо кожному елементові групи G відповідає лише один елемент групи G ~ , >,> а кожному елементові групи G ~ >> відповідає декілька елементів групи G , тобто g ~ m ↔ g m 1 , g m 2 , . . . , >_\leftrightarrow g_>,g_>. > за збереження цієї властивості при груповому множенні, то групи G ~ >> та G називаються гомоморфними. При цьому кажуть, що більша група гомоморфна на меншу (накладання).
Ізоморфізм є частковим випадком гомоморфізму (відповідно, бієктивне відображення – частковий випадок сюр’єктивного), за якого відповідність між елементами груп є взаємно однозначною. Встановлення ізоморфізму груп дозволяє звести дослідження однієї групи до дослідження іншою.
Представленням групи називається відображення f групи G на декотру множину квадратних матриць, що задовільняє наступним умовам:
для довільних g 1 , g 2 , g − 1 ∈ G . ,g_,g^\in G.> Елементи g 1 ⋅ g 2 \cdot g_> та g − 1 <\displaystyle g^> позначають відповідно добуток елементів g 1 > й g 2 <\displaystyle g_> та зворотний елемент у групі, а f ( g 1 ) ⋅ f ( g 2 ) )\cdot f(g_)> та f ( g ) − 1 <\displaystyle f(g)^> – добуток матриць й зворотну матрицю. Іншими словами, представлення групи є гомоморфізмом групи у групу усіх невироджених матриць порядку n , де n – розмірність представлення.
Наприклад, група перестановок G , що складається з трьох елементів a , b , c ∈ G , може бути представлена наступним чином:
f 1 ( G ) = ( a b c ) = ( 100 010 001 ) , f 2 ( G ) = ( c a b ) = ( 001 100 010 ) , f 3 ( G ) = ( b c a ) = ( 010 001 100 ) , f 4 ( G ) = ( c b a ) = ( 001 010 100 ) f 5 ( G ) = ( a c b ) = ( 100 001 010 ) , f 6 ( G ) = ( b a c ) = ( 010 100 001 ) . f_(G)=(abc)=100\\010\\001\end>,\quad \quad f_(G)=(cab)=001\\100\\010\end>,\quad \quad f_(G)=(bca)=010\\001\\100\end>,\quad \quad f_(G)=(cba)=001\\010\\100\end>\\\,\\f_(G)=(acb)=100\\001\\010\end>,\quad \quad f_(G)=(bac)=010\\100\\001\end>.\end>>
Набір функцій < f i >, \>,> за допомогою яких побудовані матриці M i = f i ( g i ) , =f_(g_),> називається базисом представлення. При цьому кажуть, що множина функцій < f i >\>> перетворюється по представленню M . Якщо усі матриці M є різними, то представлення є ізоморфним групі (таке представлення називається точним). Таким чином, кожній операції g i > (у нашому прикладі – підстановці) групи G ставиться у відповідність квадратна матриця M розмірності n , тобто M i = f i ( g i ) . =f_(g_).> Сукупність таких матриць M утворює представлення групи G .
Будь-яка група G має представлення, яке визначається рівністю f ( g ) = E для усіх елементів g ∈ G , де E – одинична матриця порядку n . Таке представлення називається тривіальним.
Якщо представлення M побудоване у базисі < f i >\>> розмірності n , а представлення M ∗ > – у базисі < f i ∗ >, ^\>,> що отримується за допомогою лінійного перетворення
або, у загальному вигляді ⋀ i = 1 n f i ∗ = ∑ k = 1 n a i k f k , ^f_^=\sum _^a_f_,> то такі представлення M та M ∗ <\displaystyle M^> називаються еквівалентними. Перетворення представлення M до будь-якого еквівалентного називається подібним (спряженим) перетворенням, тобто M ∗ = A − 1 ⋅ M ⋅ A . <\displaystyle M^=A^\cdot M\cdot A.> Таким чином, квадратна матриця (представлення) M ∗ <\displaystyle M^> отримується шляхом трансформування (лінійного перетворення) матриці M за допомогою матриці переходу A = ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ) . a_&a_&. &a_\\a_&a_&. &a_\\. &. &. &. \\a_&a_&. &a_\end>.>
Автоморфізми [ ред. ]
Нехай G – група, а M – множина. Через A u t ( M ) (M)> позначається група усіх взаємно однозначних відображень M у себе. Гомоморфізм f : G → A u t ( M ) (M)> називається дією групи G на множині M або представленням групи G автоморфізмами множини M . Автоморфізм є різновидом гомоморфізму. Відображення f ( g ) : M → M , яке відповідає елементу g ∈ G за дії f можна записати наступним чином: f g : M → M . :M\to M.> Факт того, що зіставлення g ↦ f g > є гомоморфізмом груп, значить, що f g h = f g ∘ f h =f_\circ f_> для усіх g , h ∈ G .
Дія є транзитивною, якщо будь-який елемент множини M можна перетворити у будь-який інший елемент яким-небудь перетворенням з групи G . Наприклад, нехай x 1 , x 2 ∈ M , ,x_\in M,> тоді перетворення елемента x 1 > у елемент x 2 <\displaystyle x_> посередництвом перетворення g з групи G запишеться рівністю g x 1 = x 2 . =x_.>
Дія є вільною, якщо кожний відмінний від одиниці елемент g групи G дії на M без рухомих елементів, тобто для усіх g ∈ G та x ∈ M справджується g x = x ⇒ g = e .
Дія f : g → A u t ( M ) (M)> є точною (або ефективною), якщо кожний відмінний від нуля елемент групи діє на M нетотожно, тобто коли ядро відображення k e r f = e . \,f=e.> Ядром k e r > називається прообраз одиниці e ∈ G , тобто k e r f = d e f f − 1 ( e ) = < g ∈ G | f ( g ) = e >. \,f\, <\overset <\mathrm
Деякі групи [ ред. ]
Вільні групи [ ред. ]
Група G називається вільною групою, якщо існує підмножина M ∈ G така, що кожен елемент G записується як добуток скінченного числа елементів m i ∈ M \in M> та їх обернених елементів m i − 1 . ^.> .
Нехай G – довільна множина, елементи якої називаються генераторами. Розгляньмо множину усіх скінченних слів s , утворених з елементів a множини G , а також зворотних до них a − 1 . .> Слова розглядаються як добутки генераторыв й зворотних до них. Добутком слів s 1 > та s 2 > називається слово, одержане з s 1 > приписуванням до нього праворуч слова s 2 . .> При цьому слова розглядаються із точністю до елементарних скорочень, тобто усувань підслів виду a a − 1 > та a − 1 a . a.> Такі скорочення називаються редукціями, і у випадку, коли вони усі виконані, то слово називається редукованим. Нейтральним елементом буде слово, яке прийнято позначати λ . Зворотним елементом до слова s = a i 1 ⋅ ⋅ ⋅ a i k >\cdot \cdot \cdot a_>> є слово s − 1 = a i k − 1 ⋅ ⋅ ⋅ a i 1 − 1 . =a_>^\cdot \cdot \cdot a_>^.> Таким чином, множина редукованих слыв (або множина класів слів), розглядуваних із точністю до редукції, утворює групу, яка називається вільною групою над G . Потужність множини G називається рангом вільної групи. Вільні групи однакового рангу є ізоморфними.
Нехай тепер G та H – вільні групи. Розгляньмо множину G ∗ H ¯ , >,> яка складається з послідовностей (слів) g 1 h 1 g 2 h 2 . . . g n h n , h_g_h_. g_h_,> де g i ∈ G \in G> та h i ∈ H . \in H.> Якщо h i = λ , =\lambda ,> то
g 1 h 1 g 2 h 2 . . . g i h i g i + 1 h i + 1 ⋅ ⋅ ⋅ g n h n ∼ g 1 h 1 g 2 h 2 ⋅ ⋅ ⋅ g i g i + 1 h i + 1 ⋅ ⋅ ⋅ g n h n h_g_h_. g_h_g_h_\cdot \cdot \cdot g_h_\sim g_h_g_h_\cdot \cdot \cdot g_g_h_\cdot \cdot \cdot g_h_> ;
якщо g i + 1 = λ , =\lambda ,> то
g 1 h 1 g 2 h 2 ⋅ ⋅ ⋅ g i h i g i + 1 h i + 1 ⋅ ⋅ ⋅ g n h n ∼ g 1 h 1 g 2 h 2 ⋅ ⋅ ⋅ g i h i h i + 1 g i + 2 ⋅ ⋅ ⋅ g n h n . h_g_h_\cdot \cdot \cdot g_h_g_h_\cdot \cdot \cdot g_h_\sim g_h_g_h_\cdot \cdot \cdot g_h_h_g_\cdot \cdot \cdot g_h_.>
Тут у кожному слові усі комбінації виду g 1 λ g 2 \lambda g_> можна замінити на g 1 g 2 , g_,> a h 1 λ h 2 \lambda h_> – на h 1 h 2 . h_.> Множина класів еквівалентності позначається G ∗ H . Група G ∗ H називається вільним добутком груп G та H .
Групи підстановок [ ред. ]
Група Галуа [ ред. ]
Диференціальна група [ ред. ]
Диференціальна група – система ⟨ A b , d ⟩ , >,d\rangle ,> у якій елементи підгрупи d ( A b ) >)> називаються границями (елемент d a називається границею елемента a ∈ A ), а елементи підгрупи d − 1 ( 0 ) (0)> називаються циклами (тобто циклами називаються елементи, границі яких дорівнюють нулю). Через d позначається диференціал (ендоморфізм). Довільні елементи диференціальної групи (не обов’язково цикли чи границі) називаються також ланцюгами. Квадрат ендоморфізму d 2 = 0. =0.> Іншими словами, диференціальна група – це абелева група A b , >,> наділена диференціалом (ендоморфізмом).
Множина підгруп ( A b p ) , >^
),> де p – ціле число (від’ємне чи додатне), визначає на A b >> зростаючу послідовність (фільтрацію), якщо справджуються наступні умови:
Нехай a ∈ A b . >.> Через inf ( a ) позначмо нижню грань таких цілих чисел p , що a ∈ A b p . >^
.> Відображення a → inf ( a ) має наступні властивості:
inf ( a − b ) ≤ max ( inf ( a ) , inf ( b ) ) , inf ( d a ) ≤ inf ( a ) , inf ( 0 ) = − ∞ .
Та навпаки, якщо на A b >> задана функція inf ( a ) із цілочисельними значеннями (у тому числі − ∞ ), яка є наділеною двома вказаними властивостями, то вона визначає на A b >> зростаючу послідовність. Тоді A b p >^
> можна визначити як множину таких елементів a , для яких inf ( a ) ≤ p .
Алгебра [ ред. ]
Нехай a – довільний елемент кільця A . Тоді у цьому кільці будуть міститися наступні елементии: a + a = 2 a = a 2 та a + a + a = 3 a = a 3 тощо, тобто елементи a n = n a , де n є цілим раціональним числом. Разом із елементом a ∈ A кільце містить також елементи α ⋅ a = a ⋅ α , де α – довільний елемент декотрого поля P . Кільця для яких справедливі ці умови, називаються алгебрами над полем P . Елементи поля P є переставними (комутативними) відносно множення із елементами алгебри A .
Розгляньмо алгебру A із елементом a 1 > та усі елементи α 1 a , a,> де α 1 ∈ P . \in P.> Алгебра не вичерпується елементами α 1 a 1 , a_,> яка віднайдеться елемент a 2 , ,> який не представляється у формі α 1 a 1 . a_.> Відтак у A містяться також елементи α 1 a 1 + α 2 a 2 , a_+\alpha _a_,> де α 2 , α 2 <\displaystyle \alpha _,\alpha _> приймають довільні значення з поля P . Різним α 1 > та α 2 <\displaystyle \alpha _> відповідають різні елементи алгебри A , оскільки з рівності α 1 a 1 = α 2 a 2 = β 1 a 1 + β 2 a 2 a_=\alpha _a_=\beta _a_+\beta _a_> за α 1 ≠ β 1 \neq \beta _> та α 2 ≠ β 2 <\displaystyle \alpha _\neq \beta _> можна було одержати a 2 = α 1 − β 1 β 2 − α 2 ⋅ a 1 , =<\frac <\alpha _-\beta _><\beta _-\alpha _>>\cdot a_,> відтак ми одержали би суперечливість із умовою, що a 2 > не може бути представлене у вигляді α 1 ⋅ a 1 . \cdot a_.>
Якщо алгебра A не вичерпується елементами α 1 a 2 + α 2 a 2 , a_+\alpha _a_,> то у ній міститься елемент a 3 > із елементами α 1 a 1 + α 2 a 2 + α 3 a 3 , a_+\alpha _a_+\alpha _a_,> де α 1 , α 2 , α 3 ∈ P , ,\alpha _,\alpha _\in P,> причому різним елементам α 1 , α 2 , α 3 ,\alpha _,\alpha _> відповідають різні елементи алгебри A . Якщо продовжувати ці міркування, то ми вичерпаємо алгебру A за допомогою скінченного числа елементів a 1 , a 2 , a 3 , . . . , <\displaystyle a_,a_,a_. > чи не вичерпаємо, скільки б не знаходилося елементів a i . .> Якщо алгебра вичерпна у вказаному сенсі, вона називається алгеброю скінченного порядку, де порядок – чисельність n елементів a 1 , a 2 , . . . , a n <\displaystyle a_,a_. a_> такі, що усі елементи α 1 a 1 + α 2 a 2 + . . . α n a n , a_+\alpha _a_+. \alpha _a_,> які є незалежними, тобто α 1 a 1 + α 2 a 2 + . . . + α n a n = 0 , a_+\alpha _a_+. +\alpha _a_=0,> вичерпають алгебру A . Множина елементів [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] <\displaystyle [a_,a_. a_]> називається базисом алгебри. Якщо алгебра A містить нескінченне число незалежних елементів, то вона називається алгеброю нескінченного порядку.
Далі, якщо у кільці K для довільного елемента a справджується умова a 2 = 0 =0> та для довільних елементів справджується рівність a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) = 0 , яка називається тотожністю Якобі, то таке кільце називається кільцем Лі. Наприклад, усі цілі числа, а також усі раціональні, усі дійсні та комплексні числа відносно звичайних операцій додавання та множення чисел утворюють комутативне кільце. Абелева група, яка утвориться, якщо розглядати лише одну операцію додавання, називається адитивною групою кільця. Нулевий елемент цієї групи називається нулем кільця, а добуток довільного елемента a кільця на нуль дорівнює нулю, тобто a ⋅ 0 = 0. Якщо для елементів a , b ∈ K справджується рівність a b = 0 , але a ≠ 0 та b ≠ 0 , то a та b називаються дільниками нуля ( a – лівий дільник нуля, а b – правий). Якщо у K немає дільників нуля, тоді K називають кільцем без дільників нуля. Комутативне кільце без дільників нуля називається областю цілочисельності. Зокрема, будь-яке кільце, у якому елементи є числами, а операції – звичайними операціями додавання й множення числ, є областю цілочисельності. Поліноми, визначені й неперервні на сегменті [ − 1 , 1 ] відносно звичайних операцій додавання та множення поліномів утворюють кільце із дільниками нуля, зокрема, добуток поліномів
жодний з яких не дорівнює нулю кільця, є нулем.
Зрозуміло, що кільце A є алгеброю над полем P , якщо воно містить адитивну групу, тобто векторний простір над полем P , та якщо множення у A є пов’язаним із множенням на елементи з P формулою α ( a b ) = ( α a ) b = a ( α b ) , де a , b ∈ A та α ∈ P . Якщо векторний простір є адитивною групою у алгебрі A та є скінченновимірним (розмірності n ), то число n називають рангом алгебри A . Множина усіх квадратних матриць порядку n із комплексними елементами, у якій визначені звичайні операції додавання та множення матриць та операція множення матриці на комплексне число, є алгеброю рангу n 2 > над полем комплексних чисел C . .> Довільне поле є алгеброю рангу 1 над самим собою.
Алгебри скінченного рангу називаються гіперкомплексними системами. Якщо алгебра A є кільцем Лі, то вона називається алгеброю Лі. Наприклад, множина усіх векторів трьохвимірного простору, у якій вектори додаються та множаться на числа звичайним чином, а добуток двох векторів є векторним добутком, то ця множина називається алгеброю Лі над полем дійсних чисел R . .>
Якщо векторний простір над полем P , який є адитивною групою алгебри A , містить базис e 1 ∧ e 2 ∧ . . . ∧ e n , \land e_\land . \land e_,> то достатньо знати значення добутку довільного елемента алгебри A на довільний інший її елемент. Зокрема, якщо a , b ∈ A , причому a = α 1 e 1 + . . . α n e n e_+. \alpha _e_> та b = β 1 e 1 + . . . + β n e n , <\displaystyle b=\beta _e_+. +\beta _e_,> де i = 1 , n ¯ , >,> то тоді a b = α 1 β 1 e 1 2 + α 1 β 2 e 1 e 2 + . . . + α 1 β n e 1 e n + α 2 β 1 e 2 e 1 + . . . + α n β n e n 2 . <\displaystyle ab=\alpha _\beta _e_^+\alpha _\beta _e_e_+. +\alpha _\beta _e_e_+\alpha _\beta _e_e_+. +\alpha _\beta _e_^.> Таким чином, задання алгебри скінченного рангу таблицею множення, де для довільних двох елементів e i > та e j > базису векторного простору, який є адитивною групою алгебри, вказується лінійна комбінація елементів цього базису, яка дорівнює добутку e i e j . e_.> Наприклад, якщо у алгебрі усіх комплексних чисел C > над полем R > в якості базису обрати елементи 1 та i (уявну одиницю), то тоді таблиця множення буде мати вигляд:
Коли для добутку елементів базису справджуються сполучний та переставний закони, то взагалі множення, визначене у алгебрі, є відповідно асоціативним й комутативним.
Алгебра, адитивною групою якої є чотирьохвимірний векторний простір над полем дійсних чисел R > із базисом 1 , i , j , k та у якій множення задане наступною таблицею множення
називається алгеброю кватерніонів. Алгебра кватерніонів є некомутативною, але асоціативною алгеброю із діленням, елементами якої є кватерніони, які записуються у вигляді z = 1 ⋅ β i + γ j + δ k , де β , γ , δ ∈ R . .> Кватерніон z ∗ = α ⋅ 1 − β i − γ j − δ k =\alpha \cdot 1-\beta i-\gamma j-\delta k> називається спряженим до z ; добуток z z ∗ = α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 = | z | 2 . =\alpha ^+\beta ^+\gamma ^+\delta ^=|z|^.> Зворотним до кватерніона z ≠ 0 у алгебрі є кватерніон z − 1 = z ∗ | z | 2 . =><|z|^>>.>
За теоремою Фробеніуса, поле дійсних чисел R > та поле комплексних чисел C > й алгебра кватерніонів є єдиними асоціативними алгебрами із діленням скінченного рангу над полем дійсних чисел.
Наприклад, алгебра усіх комплексних чисел над полем R > є ізоморфною алгебрі усіх квадратних матриць другого порядку ( α β − β α ) \alpha &\beta \\-\beta &\alpha \end>> із дійсними α , β ∈ R . .>
Кажуть, що алгебра A над полем P є гомоморфно відображена на алгебру B над тим самим полем, якщо кільце A гомоморфно відображене на кільце B . У цьому випадку елементу a ∈ A відповідає елемент b ∈ B , причому для будь-якого α ∈ P елементові α a відповідає елемент α b .
Підкільце C алгебри A над полем P називається підалгеброю алгебри A , якщо адитивна група підкільця є підпростором простору, який є адитивною групою алгебри A . Якщо підалгебра C є лівим, правим чи двостороннім ідеалом кільця A , то вона називається відповідно лівим, правим чи двостороннім ідеалом алгебри A . Таким чином, підалгебра C алгебри A лише тоді є лівим ідеалом цієї алгебри, якщо вона містить разом із кожними двома елементами c 1 , c 2 ∈ C ,c_\in C> їхню різницю, ( c 1 − c 2 ) ∈ C , -c_)\in C,> та разом із кожним елементом c ∈ C містить також добуток a c ∈ C будь-якого елемента a ∈ A на елемент c , а також добуток α c довільного елемента α з поля P на елемент c . Зокрема, наприклад, кватерніони виду α ⋅ 1 + β i у алгебрі кватерніонів утворюють підалгебру (яка є ізоморфною алгебрі усіх комплексних чисел над полем R > ). Алгебра усіх квадратних матриць другого порядку над полем C > матриці ( 0 α 0 β ) 0&\alpha \\0&\beta \end>> утворюють лівий ідеал.
У випадку, якщо C ⊂ A є двостороннім ідеалом над полем P , то можна розглядати фактор-кільце A / C . Якщо увести у цьому факторкільці операцію множення на елементи з поля P за правилом α ( a + C ) = α a + C , де α ∈ P та a ∈ A , то одержимо алгебру над полем P , яка називається фактор-алгеброю алгебри A по ідеалу C .