Радіус кола описаного навколо трикутника

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини. Трикутник при цьому має назву вписаного.

Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, причому тільки одне.

Радіус R описаного кола можна обчислити за формулами:

Де a, b, c – довжини сторін трикутника – півпериметр трикутника, S – його площа.

Радіус R кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, можна обчислити за формулою:

де а – довжина сторони трикутника.

Радіус R кола, описаного навколо прямокутного трикутника, можна обчислити за формулою:

де a, b – довжини катетів прямокутного трикутника, с – довжина його гіпотенузи.

Як знайти центр описаного кола трикутника

Серединнi перпендикуляри до сторiн трикутника мають одну спiльну точку перетину. Ця точка є центром кола, що проходить через усi три кути трикутника. Таке коло називається описаним колом, а його центр — центром описаного кола. Радiус R описаного кола визначається за формулою

Якщо в завданнi просять знайти описане коло трикутника, потрiбно побудувати серединний перпендикуляр до двох сторiн. Центр описаного кола знаходиться в точцi перетину серединних перпендикулярiв. Кладемо вiстря циркуля в центр описаного кола й креслимо коло, яке проходить через всi вершини трикутника.

Зверни увагу, що центр описаного кола може бути поза трикутником. Це вiдбувається, якщо один iз кутiв становить понад 9 0 ° .

Сторони трикутника становлять A B = 5 , A C = 6 та B C = 3 . Побудуй цей трикутник i вiдповiдне описане коло.

Перш нiж побудувати описане коло, почнемо з побудови трикутника iз заданими сторонами. Почнемо зi сторони A B = 5 . Встановлюємо нiжки циркуля на довжину радiуса 3 й креслимо невиразне коло з центром у точцi B . Встановлюємо нiжки циркуля на довжину радiуса 6 й креслимо невиразне коло з центром у точцi A . Кут C знаходитиметься в точцi перетину двох кiл. Тодi в нас вийде такий рисунок:

Потiм ми будуємо серединний перпендикуляр до двох сторiн. Серединнi перпендикуляри перетинаються в центрi описаного кола, яке ми називаємо O . Потiм ми будуємо коло з центром у точцi 0 —центрi описаного кола. Це коло також проходить через всi вершини трикутника △ A B C .

Як бачимо, центр описаного кола O знаходиться поза трикутником, тому що ∠ A B C становить понад 9 0 ° .

Заняття №27 на тему «Центр кола, описаного навколо трикутника»

Дане заняття відповідає діючій програмі факультативного курсу з математики для 7 класу Бевз В. Г, Бурда М. І., Прокопенко Н. С. «За лаштунками шкільної математики». Воно містить теоретичний матеріал, що відображає тему, приклади завдань з розв’язками та вправи для самостійного виконання.

Враховуючи інтереси та нахили учнів, їхню підготовленість, вчитель може доповнювати зміст заняття додатковим матеріалом, змінювати та удосконалювати методику проведення.

Заняття №27 на тему « Центр кола, описаного навколо трикутника »

Дане заняття відповідає діючій програмі факультативного курсу з математики для 7 класу Бевз В. Г, Бурда М. І., Прокопенко Н. С. «За лаштунками шкільної математики». Воно містить теоретичний матеріал, що відображає тему, приклади завдань з розв’язками та вправи для самостійного виконання.

Враховуючи інтереси та нахили учнів, їхню підготовленість, вчитель може доповнювати зміст заняття додатковим матеріалом, змінювати та удосконалювати методику проведення.

Тема 3. Особливі точки та лінії в трикутнику.

Геометричні побудови

Центр кола, описаного навколо трикутника

Коло називається описаним навколо трикутника, якщо всі вершини трикутника лежать на колі. Кажуть, що трикутник є вписаним у коло.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло і лише одне. Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину перпендикулярів, проведених через середини сторін трикутника, тобто точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Зверніть увагу! Щоб знайти центр описаного кола, достатньо провести серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника.

Щоб описати навколо трикутника коло, треба знайти центр кола і радіусом, що дорівнює відстані від центра кола до будь-якої вершини трикутника, побудувати коло.

Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло і лише одне.

Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина його гіпотенузи, а радіус дорівнює її половині.

Якщо одна із сторін вписаного в коло трикутника дорівнює його діаметру, то цей трикутник прямокутний.

Нехай трикутник АВС – рівносторонній. Тоді, як відомо, бісектриса, висота і медіана, що виходять з однієї вершини, збігаються і, очевидно, лежать на серединному перпендикулярі, який проведено до протилежної сторони трикутника.

Отже, точка О перетину висот рівностороннього трикутника АВС є одночасно центром описаного кола та інцентром цього трикутника. Ця точка називається центром рівностороннього трикутника АВС.

Розв’язування задач і вправ.

• Дано коло, точку А, що лежить на колі, і точку Н, що лежить усередині кола. Знайти на колі такі точки В і С, щоб точка Н була точкою перетину висот трикутника АВС.

Проведемо пряму АН до перетину з колом у точці Д.

Точки Н і Д мають бути симетричними відносно шуканої сторони ВС трикутника АВС. Тому через середину відрізка НД проводимо перпендикулярну до нього пряму, яка перетне коло в точках В і С. Трикутник АВС – шуканий.

Завдання для самостійного розв’язування.

1. Основна задача. Довести, що точки, симетричні ортоцентру трикутника (точці перетину його висот) відносно його сторін, лежать на колі, описаному навколо цього трикутника.

Використана література

1. Адлер А. Теорія геометричних побудов, Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольца. Видання третє. Л., Навчпедвид, 1940—232 с.
2. Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
4. Воронець О. М. Геометрія циркуля, Популярна бібліотека з математики під загальною редакцією Л. О. Люстерника, М.- Л., ОНТІ, 1934 — 40 с.
5. Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с.
6. Манін Ю. І., Про розв’язність задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки, Енциклопедія елементарної математики книга четверта (геометрія), М., Фізматвид, 1963. — 568с.
7. Петерсен Ю. Методи і теорії розв’язку геометричних задач на побудову, Москва, типографія Э.Ліснера та Ю.Романа, 1892 — VIII + 114с.
8. Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія , випуск 62.
9. Щетников А. І. Як було знайдено де-які розв’язки трьох класичних задач древності? Математична освіта, № 4 (48), 2008, с. 3-15.
10. Слива Н. В.Математика 7клас. Факультативний курс http://www.fak-matematika_7_klas_sliva_n.v.