ГДЗ Математика 5 клас Мерзляк А Г Вправи 117 – 151 § 5 Шкала, координатний промінь (за підручником Мерзляка А Г)

Завдання 2 Чому дорівнює сума найбільшого трицифрового і найменшого чотирицифрового чисел?

999 — найбільше трицифрове число. 1000 — найменше чотирицифрове число.

1000 + 999 = 1999 — сума найбільшого трицифрового і найменшого чотирицифрового чисел.

Завдання 3 У п’ять однакових пакетів розклали порівну 10 кг цукерок. Скільки потрібно таких пакетів, щоб розкласти З0 кг цукерок?

1) 10 : 5 = 2 (кг) ─ маса 1 пакету.

Відповідь: потрібно 15 пакетів.

Завдання 4 Чому дорівнює довжина ламаної, яка складається із шести рівних ланок завдовжки 7 см кожна?

7 • 6 = 42 (см) ─ довжина ламаної.

Відповідь: довжина ламаної 42 см.

Вправа 117° Запишіть показання термометрів, зображених на рисунку 57.

а) 10°С , б) 25°С , в) 18°С , г) 21°С

Вправа 118° Яку температуру показуватиме термометр, зображений на рисунку 57(в), якщо його стовпчик: 1) опуститься на 6 поділок; 2) підніметься на 4 поділки?

Вправа 119° Яку температуру показуватиме термометр, зображений на рисунку 57(г), якщо його стовпчик: 1) підніметься на 3 поділки; 2) опуститься на 5 поділок?

Вправа 120 ° (Домашня практична робота) Складіть список приладів зі шкалою, які є у вас удома, та вкажіть ціну поділки відповідної шкали.

Вага 10 г, термометр 1 0 С, годинник 1 хв, лінійка 1 мм

Вправа 121 ° На рисунку 62 зображено шкалу спідометра автомобіля. З якою швидкістю рухається автомобіль, якщо стрілка його спідометра вказуватиме:

Вправа 122 ° Водій автомобіля, побачивши знак обмеження швидкості (рис. 63), подивився на спідометр (рис. 64). На скільки кілометрів за годину водієві треба зменшити швидкість, щоб не порушувати правила дорожнього руху?

Відповідь: на 30 км/год водієві треба зменшити швидкість.

Вправа 123° Знайдіть координати точок А, В, С, D, Е на рисунку 65.

Вправа 124° Знайдіть координати точок Р, К, S, Т, F на рисунку 66.

Вправа 125° Позначте на координатному промені точки, що відповідають числам 1, 3, 5, якщо одиничний відрізок дорівнює 1 см. Накресліть ще два координатних промені та позначте ці самі числа, обравши довжину одиничного відрізка для одного променя 2 см, а для другого — 5 мм.

Вправа 126° Накресліть координатний промінь і позначте на ньому точки, що відповідають числам 0, 1, 4, 8, 9.

Вправа 127° Накресліть координатний промінь і позначте на ньому точки, що відповідають числам 0, 1, 5, 6, 7.

Вправа 128° Запишіть усі натуральні числа, розміщені на координатному промені: 1) ліворуч від числа 12; 2) ліворуч від числа 18, але праворуч від числа 8.

1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

2) 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

Вправа 129° Накресліть координатний промінь і позначте на ньому всі натуральні числа, більші за 3 і менші від 7.

Вправа 130° Накресліть координатний промінь і позначте на ньому всі натуральні числа, більші за 5 і менші від 10.

Вправа 131° Які натуральні числа лежать на координатному промені між числами:

1) 132 і 140; 3) 2126 і 2128;

2) 487 і 492; 4) 3714 і 3715?

1) 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139

4) нема жодного натурального числа.

Вправа 132° Запишіть натуральні числа, які лежать на координатному промені між числами:

2) 1519, 1520, 1521, 1522, 1523

Вправа 133 Накресліть відрізок завдовжки 8 см. Над одним кінцем відрізка напишіть число 0, а над другим — 16. Поділіть відрізок на 4 рівні частини. Назвіть числа, які відповідають кожній поділці. Позначте на отриманій шкалі числа 3, 7, 9, 14, 15.

Вправа 134 Накресліть відрізок завдовжки 9 см. Над одним кінцем відрізка напишіть число 0, а над другим — 18. Поділіть відрізок на 6 рівних частин. Назвіть числа, які відповідають кожній поділці. Позначте на отриманій шкалі числа 4, 8, 10, 16, 17.

Вправа 135 Довжина прямолінійної дороги між селами Яблуневе та Вишневе дорівнює 30 км. Зобразіть дорогу між цими селами у вигляді шкали, ціна поділки якої становить 3 км. Зобразіть положення туристки, яка рухається із села Яблуневе в село Вишневе зі швидкістю 6 км/год:

1) через 1 год після початку руху; 6 • 1 = 6 (км)

2) через 3 год; 6 • 3 = 18 (км)

3) через 4 год. 6 • 4 = 24 (км)

Вправа 136 Довжина прямолінійної дороги від села Грушеве до залізничної станції дорівнює 48 км. Зобразіть дорогу між селом і станцією у вигляді шкали, ціна поділки якої становить 4 км. Зобразіть положення велосипедиста, який рухається зі швидкістю 12 км/год із села до станції:

1) через 2 год після початку руху;

Вправа 137 Знайдіть координати точок А, В, С, D, Е, F на рисунку 67.

А(10), В(90), С(50), D(140), Е(190), F(125)

Вправа 138* Знайдіть координати точок М, N, Р , Т, К, S на рисунку 68.

М(10), N(80), Р(70) , Т(130), К(180), S(155)

Вправа 139* Перенесіть у зошит рисунок 69. Позначте на координатному промені точки В (12), С (2), D (8).

Вправа 140* Перенесіть у зошит рисунок 70. Позначте на координатному промені точки Е (27), F (6), К (15), Р (21).

Вправа 141* Накресліть координатний промінь і позначте на ньому точку, віддалену від точки В (5) на:

1) шість одиничних відрізків; А(11)

2) три одиничних відрізки; B₁(2), B₂(8)

3) п’ять одиничних відрізків. C₁(0), C₂(10)

Вправа 142* Накресліть координатний промінь і позначте на ньому точку, віддалену від точки А (7) на:

1) десять одиничних відрізків; B(17)

2) чотири одиничних відрізки. C₁(3), C₂(11)

Вправа 143* На координатному промені позначили точки O (0), A (7) і B (28).

1) На скільки одиничних відрізків відрізок OB довший за відрізок OA?

2) У скільки разів відрізок OA коротший від відрізка OB?

Вправа 144* Яке число має бути записане на координатному промені в тій точці, куди вказує стрілка (рис. 71)?

Вправа 145* Яке число має бути записане на координатному промені в тій точці, у якій починається стрілка (рис. 72)?

Вправа 146** Коник за один стрибок переміщується вздовж координатного променя праворуч на 5 одиничних відрізків або ліворуч — на 3 одиничних відрізки. Перший стрибок він робить управо на 5 одиничних відрізків. Чи зможе він за кілька стрибків з точки 0 (0) потрапити: 1) у точку А (7); 2) у точку В (8)?

5 + 5 — 3 = 7 (стрибок вправо на 5 одиничних відрізків, стрибок вправо на 5 одиничних відрізків, стрибок вліво на 3 одиничні відрізки).

5 — 3 + 5 = 7 (стрибок вправо на 5 одиничних відрізків, стрибок вліво на 3 одиничні відрізки, стрибок вправо на 5 одиничних відрізків).

5 + 5 + 5 + 5 — 3 — 3 — 3 — 3 = 20 — 12 = 8 (4 стрибки вправо на 5 одиничних відрізків, 4 стрибки вліво на 3 одиничних відрізки)

(5 — 3) + (5 — 3) + (5 — 3) + (5 — 3) = 8 (4 рази виконати пару стрибків вправо на 5 одиничних відрізків та вліво на 3 одиничних відрізки).

Вправи для повторення

Чому дорівнює синус формула? Основні тригонометричні тотожності, їх формулювання та виведення

Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута допоможе зрозуміти прямокутний трикутник.

Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза – це сторона, яка лежить навпроти прямого кута (у нашому прикладі це сторона \ (AC \)
); катети – це дві сторони \(AB \)
і \(BC \)
(ті, що прилягають до прямого кута), причому, якщо розглядати катети щодо кута \(BC \)
, то катет \(AB \)
– це прилеглий катет, а катет (BC)
– протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?

Синус кута
– це відношення протилежного (дальнього) катета до гіпотенузи.

Косинус кута
– це відношення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

Тангенс кута
– це відношення протилежного (дальнього) катета до прилеглого (близького).

Котангенс кута
– це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).

Ці визначення необхідно запам’ятати
! Щоб було простіше запам’ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що у тангенсі
та котангенсі
сидять тільки катети, а гіпотенуза з’являється лише у синусі
та косинусі
. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:

Насамперед, слід запам’ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:

Розглянемо, наприклад, косинус кута (beta)
. За визначенням, з трикутника \(ABC \)
: \(\cos \beta =\dfrac=\dfrac=\dfrac \)
, але ж ми можемо обчислити косинус кута \(\beta \)
і з трикутника \(AHI \)
: \(\cos \beta =\dfrac=\dfrac=\dfrac < 3>\)
. Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.

Якщо розібрався у термінах, то вперед закріплювати їх!

Для трикутника \(ABC \)
, зображеного нижче на малюнку, знайдемо \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \)
.

\(\begin\sin \ \alpha =\dfrac=0,8\\cos \ \alpha =\dfrac=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac\\ctg\ \alpha =\dfrac=0,75\end \)

Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута \(\beta\)
.

Відповіді: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac \ )
.

Одиничне (тригонометричне) коло

Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з радіусом, рівним (1)
. Таке коло називається одиничним
. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.

Як можна помітити, це коло побудовано в декартовій системі координат. Радіус кола дорівнює одиниці, при цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі \(x \)
(у нашому прикладі, це радіус \(AB \)
).

Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі (x)
і координата по осі (y)
. А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати про розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити аж два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник \(ACG\)
. Він прямокутний, тому що \(CG\)
є перпендикуляром до осі \(x\)
.

Чому дорівнює \(\cos \ \alpha\)
з трикутника \(ACG\)
? Все правильно \(\cos \ \alpha =\dfrac \)
. Крім того, нам відомо, що \(AC \)
– це радіус одиничного кола, а значить, \(AC=1 \)
. Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:

А чому дорівнює \(\sin \ \alpha\)
з трикутника \(ACG\)
? Ну, звичайно, \(\sin \alpha =\dfrac \)
! Підставимо значення радіусу \(AC \)
в цю формулу і отримаємо:

Так, а можеш сказати, які координати має точка \(C\)
, що належить колу? Ну що, ні? А якщо збагнути, що \(\cos\\alpha\)
і \(\sin\alpha\)
– це просто числа? Який координаті відповідає \(\cos\alpha\)
? Ну, звичайно, координати (x)
! А якій координаті відповідає \(\sin\alpha\)
? Все вірно, координати \ (y \)
! Таким чином, точка \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \)
.

А чому тоді рівні \(tg\alpha\)
та \(ctg\alpha\)
? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу та отримаємо, що \(tg \alpha =\dfrac=\dfrac \)
, а \(ctg \ alpha =\dfrac=\dfrac \)
.

А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому малюнку:

Ну ось, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті \(y \)
; значення косинуса кута – координаті (x)
; а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення застосовуються до будь-яких поворотів радіус-вектора.

Вже згадувалося, що початкове положення радіус-вектора – вздовж позитивного напрямку осі (x)
. Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути
, а при обертанні за годинниковою стрілкою негативні.

Отже, ми знаємо, що цілий оборот радіус-вектора по колу складає \(360<>^\circ\)
або \(2\pi\)
. А можна повернути радіус-вектор на \(390<>^\circ\)
або на \(-1140<>^\circ\)
? Ну звісно, ​​можна! У першому випадку \(390<>^\circ =360<>^\circ +30<>^\circ \)
, таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні \(30<>^\ circ \)
або \(\dfrac<\pi>\)
.

У другому випадку, \(-1140<>^\circ =-360<>^\circ \cdot 3-60<>^\circ \)
, тобто радіус-вектор зробить три повні обороти і зупиниться в положенні \(- 60<>^\circ \)
або \(-\dfrac<\pi > \)
.

Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на \(360<>^\circ \cdot m \)
або \(2\pi \cdot m \)
(де \(m \)
– будь-яке ціле число ), відповідають тому самому положенню радіус-вектора.

Нижче на малюнку зображено кут \(\beta =-60<>^\circ \)
. Це зображення відповідає куту \(-420<>^\circ ,-780<>^\circ ,\ 300<>^\circ ,660<>^\circ \)
і т.д. Цей список можна продовжити до безкінечності. Всі ці кути можна записати загальною формулою \(\beta +360<>^\circ \cdot m \)
або \(\beta +2\pi \cdot m \)
(де \(m \)
– будь-яке ціле число)

\(\begin-420<>^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780<>^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300<>^\circ =-60+360\cdot 1;\\660<>^\circ =-60+360\cdot 2.\end \)

Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:

\(\begin\sin \ 90<>^\circ =?\\\cos \ 90<>^\circ =?\\\text\ 90<>^\circ =? \\\text\ 90<>^\circ =?\\\sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =?\\\text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =?\\\text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =?\\\sin \ 270<>^\circ =?\\cos\ 270<>^\circ =?\\\text\ 270<>^\circ =?\\\text \ 270<>^\circ =?\\\sin \ 360<>^\circ =?\\cos\ 360<>^\circ =?\\\text\ 360<>^ \circ =?\\\text\ 360<>^\circ =?\\\sin \ 450<>^\circ =?\\\cos \ 450<>^\circ =?\\\text \ 450<>^\circ =?\\\text\ 450<>^\circ =?\end \)

Ось тобі на допомогу одиничне коло:

Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:

\(\begin\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\tg\alpha =\dfrac;\ctg\alpha =\dfrac.\end \)

Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку в \(90<>^\circ =\dfrac<\pi > \)
відповідає точка з координатами \(\left(0;1 \right) \)
, отже:

\(\text\ 90<>^\circ =\dfrac=\dfrac\Rightarrow \text\ 90<>^\circ \)
– не існує;

Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з’ясовуємо, що кутам в \(180<>^\circ ,\ 270<>^\circ ,\ 360<>^\circ ,\ 450<>^\circ (=360<>^ \circ +90<>^\circ)\ \)
відповідають точки з координатами \(\left(-1;0 \right),\text< >\left(0;-1 \right),\text< >\ left(1;0 \right),\text< >\left(0;1 \right) \)
відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.

\(\displaystyle \sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\dfrac< -1>\Rightarrow \text\ \pi \)
– не існує

\(\text\ 270<>^\circ =\dfrac< -1>\Rightarrow \text\ 270<>^\circ \)
– не існує

\(\text\ 360<>^\circ =\dfrac\Rightarrow \text\ 2\pi \)
– не існує

\(\sin \ 450<>^\circ =\sin \ \left(360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\sin \ 90<>^\circ =1 \)

\(\cos \ 450<>^\circ =\cos \ \left(360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\cos \ 90<>^\circ =0 \)

\(\text\ 450<>^\circ =\text\ \left(360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<> ^\circ =\dfrac\Rightarrow \text\ 450<>^\circ \)
– не існує

Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:

Немає потреби пам’ятати всі ці значення. Достатньо пам’ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:

А ось значення тригонометричних функцій кутів і (30<>^\circ =\dfrac<\pi >,\ 45<>^\circ =\dfrac<\pi > \)
, наведених нижче в таблиці, необхідно запам’ятати:

Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам’ятовування відповідних значень:

Для користування цим методом життєво необхідно запам’ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута (\(30<>^\circ =\dfrac<\pi >,\ 45<>^\circ =\dfrac<\pi ><4) >,\ 60<>^\circ =\dfrac<\pi > \)
), а також значення тангенса кута в \(30<>^\circ \)
. Знаючи ці \(4\)
значення, досить просто відновити всю таблицю повністю -значення косинуса переносяться відповідно до стрілочок, тобто:

\(\begin\sin 30<>^\circ =\cos \ 60<>^\circ =\dfrac\ \\\sin 45<>^\circ = \cos \ 45<>^\circ =\dfrac<\sqrt>\\\sin 60<>^\circ =\cos \ 30<>^\circ =\dfrac>\ \end \)

\(\text\ 30<>^\circ \ =\dfrac> \)
, знаючи це можна відновити значення для \(\text\ 45<>^\ circ , \text\ 60<>^\circ \)
. Чисельник “\(1 \)
” буде відповідати \(\text\ 45<>^\circ \ \)
, а знаменник “\(\sqrt> \)
” відповідає \(\text \60<>^\circ\\)
. Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілочок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити і запам’ятати схему зі стрілочками, то буде достатньо пам’ятати всього
значення з таблиці.

Координати точки на колі

А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту? Ну, звісно, ​​можна! Давай виведемо загальну формулу для знаходження координат точки. Ось, наприклад, перед нами таке коло:

Нам дано, що точка \(K(_>;_>)=K(3;2) \)
– центр кола. Радіус кола дорівнює \(1,5\)
. Необхідно знайти координати точки \(P \)
, отриманої поворотом точки \(O \)
на \(\delta \)
градусів.

Як видно з малюнка, координаті \(x \)
точки \(P \)
відповідає довжина відрізка \(TP=UQ=UK+KQ \)
. Довжина відрізка \(UK\)
відповідає координаті \(x\)
центру кола, тобто дорівнює \(3 \)
. Довжину відрізка (KQ)
можна виразити, використовуючи визначення косинуса:

\(\cos \ \delta =\dfrac=\dfrac\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta\)
.

Тоді маємо, що для точки \(P \)
координата \(x=_>+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \)
.

За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки \ (P \)
. Таким чином,

\(y=_>+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \)
.

Отже, у загальному вигляді координати точок визначаються за формулами:

\(\delta \)
– Кут повороту радіуса вектора.

Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, так як координати центру рівні нулю, а радіус дорівнює одиниці:

\(\beginx=_>+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =_>+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end \)

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношення були виведені астрономами для створення точного календаря та орієнтування за зірками. Дані обчислення належали до сферичної тригонометрії, тоді як у шкільному курсі вивчають співвідношення сторін та кута плоского трикутника.

Тригонометрія – це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функцій та залежністю між сторонами та кутами трикутників.

У період розквіту культури та науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходу до Греції. Але основні відкриття тригонометрії – заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс та котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів та котангенсів. Поняття синуса та косинуса введено індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги у працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда та Ератосфена.

Основні величини тригонометрії

Основні тригонометричні функції числового аргументу – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косінусоїда, тангенсоіда та котангенсоіда.

У основі формул до розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома у формулюванні: «Піфагорові штани, на всі боки рівні», оскільки доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.

Синус, косинус та інші залежності встановлюють зв’язок між гострими кутами та сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв’язки тригонометричних функцій:

Як видно, tg та ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як добуток sin A та гіпотенузи с, а катет b у вигляді cos A * c, то отримаємо наступні формули для тангенсу та котангенсу:

Тригонометричне коло

Графічно співвідношення згаданих величин можна так:

Окружність, у разі, є всі можливі значення кута α — від 0° до 360°. Як видно з малюнка, кожна функція набуває негативного або позитивного значення в залежності від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить I та II чверті кола, тобто знаходиться в проміжку від 0° до 180°. При від 180° до 360° (III і IV чверті) sin α може бути лише негативним значенням.

Спробуємо побудувати тригонометричні таблиці для конкретних кутів та дізнатися значення величин.

Значення α рівні 30°, 45°, 60°, 90°, 180° тощо – називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій їм прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.

Ці кути обрані зовсім не випадково. Позначення π у таблицях стоїть для радіан. Радий – це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Дана величина була введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках у радіанах не має значення дійсна довжина радіуса см.

Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:

Отже, не важко здогадатися, що 2π – це повне коло або 360 °.

Властивості тригонометричних функцій: синус та косинус

Для того, щоб розглянути та порівняти основні властивості синуса та косинуса, тангенсу та котангенсу, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої у двовимірній системі координат.

Розглянь порівняльну таблицю властивостей для синусоїди та косінусоїди:

Визначити чи є функція парною чи ні дуже просто. Достатньо уявити тригонометричне коло зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, інакше непарна.

Введення радіан та перерахування основних властивостей синусоїди та косінусоїди дозволяють навести наступну закономірність:

Переконатись у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π/2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.

Властивості тангенсоїди та котангенсоїди

Графіки функцій тангенсу та котангенсу значно відрізняються від синусоїди та косінусоїди. Величини tg та ctg є зворотними один одному.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоіда прагне значень y при x = π/2 + πk, але ніколи не досягає їх.
3. Найменший позитивний період тангенсоіди дорівнює π.
4. Tg (-x) = – tg x, тобто функція непарна.
5. Tg x = 0, при x = πk.
6. Функція є зростаючою.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Похідна (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Розглянемо графічне зображення котангенсоіди нижче за текстом.

Основні властивості котангенсоіди:

1. Y = ctg x.
2. На відміну від функцій синуса та косинуса, у тангенсоіді Y може набувати значення безлічі всіх дійсних чисел.
3. Котангенсоіда прагне значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
4. Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
5. Ctg (-x) = – ctg x, тобто функція непарна.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функція є спадною.
8. Ctg x 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Похідна (ctg x)’ = – 1/sin 2 ⁡x Виправити

Для початку розглянемо коло з радіусом 1 і з центром (0; 0). Для будь-якого αЄR можна провести радіус 0A так, що радіанна міра кута між 0A та віссю 0x дорівнює α. Напрямок проти годинникової стрілки вважається позитивним. Нехай кінець радіусу А має координати (a, b).

Визначення синусу

Визначення: Число b, що дорівнює ординаті одиничного радіусу, побудованого описаним способом, позначається sinα і називається синусом кута α.

Приклад: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Визначення косинуса

Визначення: Число a, рівне абсцис кінця одиничного радіусу, побудованого описаним способом, позначається cosα і називається косинусом кута α.

Приклад: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Ці приклади використовують визначення синуса та косинуса кута через координати кінця одиничного радіусу та одиничного кола. Для більш наочного уявлення необхідно намалювати одиничне коло і відкласти у ньому відповідні точки, та був порахувати їх абсциси для обчислення косинуса і ординати для обчислення синуса.

Визначення тангенсу

Визначення: Функція tgx=sinx/cosx при x≠π/2+πk, kЄZ називається котангенсом кута x. Область визначення функції tgx – це всі дійсні числа, крім x=π/2+πn, nЄZ.

Цей приклад аналогічний до попереднього. Для обчислення тангенса кута необхідно розділити ординату точки її абсцису.

Визначення котангенсу

Визначення: Функція ctgx=cosx/sinx при x≠πk, kЄZ називається котангенсом кута x. Область визначення функції ctgx = -всі дійсні числа крім точок x=πk, kЄZ.

Розглянемо приклад на звичайному прямокутному трикутнику

Щоб було зрозуміліше, що таке косинус, синус, тангенс і котангенс. Розглянемо приклад на звичайному прямокутному трикутнику з кутом y сторонами a, b, c. Гіпотенуза, катети відповідно a і b. Кут між гіпотенузою c та катетом b y.

Визначення:
Синус кута y – це відношення протилежного катета до гіпотенузи: siny = а/с

Визначення:
Косинус кута y це відношення прилеглого катета до гіпотенузи: сosy = в/с

Визначення:
Тангенс кута у – це відношення протилежного катета до прилеглого: tgy = а/в

Визначення:
Котангенс кута y – це відношення прилеглого катета до протилежного: ctgy = в/а

Cінус, косинус, тангенс і котангенс називають ще тригонометричними функціями. Кожен кут має свій синус і косинус. І практично кожен має свій тангенс і котангенс.

Вважається, якщо нам дано кут, його синус, косинус, тангенс і котангенс нам відомі! І навпаки. Цей синус, або будь-яка інша тригонометрична функція відповідно, ми знаємо кут. Створено навіть спеціальні таблиці, де розписано тригонометричні функції для кожного кута.

ЄДІ на 4? А чи не луснеш від щастя?

Питання, як кажуть, цікаве… Можна, можна здати на 4! І при цьому не луснути … Головна умова – займатися регулярно. Тут – основна підготовка до ЄДІ з математики. З усіма секретами та таємницями ЄДІ, про які Ви не прочитаєте у підручниках… Вивчайте цей розділ, вирішуйте більше завдань із різних джерел – і все вийде! Передбачається, що базовий розділ “З тебе і трійки вистачить!” у вас труднощів не викликає. Але якщо раптом… За посиланнями ходіть, не лінуйтеся!

І почнемо ми з великої та жахливої ​​теми.

Тригонометрія

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто дуже не дуже …
І для тих, хто дуже навіть …

Ця тема завдає безліч проблем учням. Вважається однією з найсуворіших.
Що таке синус та косинус? Що таке тангенс та котангенс? Що таке числове коло?
Варто поставити ці безневинні питання, як людина блідне і намагається відвести розмову убік… А даремно. Це найпростіші поняття. І нічим ця тема не складніша за інших. Просто потрібно з самого початку чітко усвідомити відповіді на ці питання. Це дуже важливо. Якщо зрозуміли – тригонометрія вам сподобається. Отже,

Що таке синус та косинус? Що таке тангенс та котангенс?

Почнемо з давніх-давен. Не хвилюйтеся, всі 20 століть тригонометрії ми пройдемо хвилин за 15. І непомітно для себе, повторимо шматочок геометрії з 8 класу.

Намалюємо прямокутний трикутник зі сторонами а, в, з
і кутом х
. Ось такий.

Нагадаю, що сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами. а й у
– катети. Їх два. Сторона, що залишилася, називається гіпотенузою. с
– гіпотенуза.

Трикутник та трикутник, подумаєш! Що робити з ним? А ось давні люди знали, що робити! Повторимо їхні дії. Виміряємо бік у
. На малюнку спеціально клітини намальовані, як у завданнях ЄДІ буває.
Сторона дорівнює
чотирьом клітинам. Гаразд. Виміряємо бік а.
Три клітини.

А тепер поділимо довжину сторони, а
на довжину сторони в
. Або, як ще кажуть, візьмемо ставлення до в
. а/в = 3/4.

Можна навпаки, поділити на
а .
Отримаємо 4/3. Можна поділити на с
.
Гіпотенузу з
клітинами не порахувати, але вона дорівнює 5. Отримаємо в/с
= 4/5. Коротше, можна ділити довжини сторін один на одного та отримувати якісь числа.

Ну і що? Який сенс у цьому цікавому занятті? Поки що ніякого. Безглузде заняття, прямо скажемо.)

А тепер зробимо ось що. Збільшимо трикутник. Продовжимо сторони в і с
, але так, щоб трикутник залишився прямокутним. Кут х
, звичайно, не змінюється. Щоб це побачити, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться її (якщо у вас планшет). Сторони а, в і с
перетворяться на m, n, k
, і, ясна річ, довжини сторін зміняться.

Відношення а/в
було: а/в
=3/4, стало m/n
=6/8=3/4. Відносини інших відповідних сторін також не зміняться

. Можна як завгодно змінювати довжини сторін у прямокутному трикутнику, збільшувати, зменшувати, не змінюючи кута х
– відносини відповідних сторін не зміняться

. Можна перевірити, а можна повірити давнім людям на слово.

А це вже дуже важливо! Відносини сторін у прямокутному трикутнику не залежать від довжин сторін (при тому самому вугіллі). Це настільки важливо, що відносини сторін заслужили свої спеціальні назви. Свої імена, так би мовити.) Знайомтеся.

Що таке синус кута х

? Це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Що таке косинус кута х

? Це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

з
osx
=
в/с

Що таке тангенс кута х

? Це ставлення протилежного катета до прилеглого:

Що таке котангенс кута х

? Це відношення прилеглого катета до протилежного:

Все дуже просто. Синус, косинус, тангенс та котангенс – це деякі числа. Безрозмірні. Просто числа. Для кожного кута – свої.

Навіщо я так занудно все повторюю? Тому, що це треба запам’ятати
. Залізно запам’ятати. Запам’ятовування можна полегшити. Фраза «Почнемо здалеку…» знайома? От і починайте здалеку.

Синус
кута – це відношення далекого
від кута катета до гіпотенузи. Косинус
– ставлення ближнього до гіпотенузи.

Тангенс
кута – це відношення далекого
від кута катета до ближнього. Котангенс
– навпаки.

Ну а якщо запам’ятати, що в тангенсі та котангенсі сидять тільки катети, а в синусі та косинусі гіпотенуза з’являється, то все стане зовсім просто.

Всю цю славну родину – синус, косинус, тангенс та котангенс називають ще тригонометричними функціями
.

А зараз питання на міркування.

Чому ми говоримо синус, косинус, тангенс та котангенс кута?
Йдеться про відносини сторін, начебто… До чого тут кут?

Дивимося на другу картинку. Таку саму, як і перша.

Наведіть мишку на зображення. Я змінив кут х
. Збільшив його з х до Х.
Усі стосунки змінилися! Відношення а/в
було 3/4, а
відповідне відношення t/в
стало 6/4.

І всі інші стосунки стали іншими!

Отже, відносини сторін ніяк не залежать від їх довжин (при одному вугіллі х), але різко залежать від цього самого кута! І лише від нього.
Тому терміни синус, косинус, тангенс та котангенс відносяться до кута.
Кут тут – головний.

Потрібно залізно усвідомити, що кут нерозривно пов’язаний зі своїми тригонометричними функціями. Кожен кут має свій синус і косинус. І майже у кожного – свій тангенс та котангенс.
Це важливо. Вважається, якщо нам дано кут, його синус, косинус, тангенс і котангенс нам відомі

! І навпаки. Даний синус, або будь-яка інша тригонометрична функція – це означає, що ми знаємо кут.

Існують спеціальні таблиці, де для кожного кута розписано його тригонометричні функції. Таблиці Брадіса називаються. Вони дуже давно складені. Коли ще не було ні калькуляторів, ні комп’ютерів.

Звичайно, тригонометричні функції всіх кутів запам’ятати не можна. Ви повинні знати їх лише для кількох кутів, про це далі буде. Але заклинання ” знаю кут – значить, знаю його тригонометричні функції” –
працює завжди!

Ось ми й повторили шматочок геометрії із 8-го класу. Воно нам потрібне для ЄДІ? Потрібно. Ось вам своєрідне завдання з ЄДІ. Для вирішення якої достатньо 8-го класу. Дана картинка:

Усе. Більше жодних даних немає. Потрібно знайти довжину катета ВС.

Клітини слабо допомагають, трикутник якось неправильно розташований. Спеціально, мабуть… З інформації є довжина гіпотенузи. 8 клітин. Ще навіщось дано кут.

Ось тут треба одразу згадувати про тригонометрію. Є кут, отже, ми знаємо всі його тригонометричні функції. Яку функцію із чотирьох у справу пустити? А подивимося, що нам відомо? Нам відомі гіпотенуза, кут, а знайти катет, що належить до
цього кута! Звісно, ​​косинус треба в справу запускати! Ось і запускаємо. Просто пишемо, за визначенням косинуса (ставлення прилеглого
катета до гіпотенузи):

Кут С у нас 60 градусів, його косинус дорівнює 1/2. Це знати треба, без жодних таблиць! Стало бути:

Елементарне лінійне рівняння. Невідоме – НД
. Хто призабув, як вирішувати рівняння, прогуляйтеся за посиланням, інші вирішують:

Коли давні люди зрозуміли, що у кожного кута є свій комплект тригонометричних функцій, у них виникло резонне питання. А чи не пов’язані як синус, косинус, тангенс і котангенс між собою?
Так, знаючи одну функцію кута, можна було знайти інші? Чи не обчислюючи сам кут?

Ось такі вони були невгамовні…)

Зв’язок між тригонометричними функціями одного кута.

Звичайно, синус, косинус, тангенс і котангенс одного і того ж кута пов’язані між собою. Будь-який зв’язок між виразами задається в математиці формулами. У тригонометрії формул – колосальна кількість. Але тут ми розглянемо найголовніші. Ці формули і називаються: основні тригонометричні тотожності.
Ось вони:

Ці формули треба знати залізно. Без них взагалі у тригонометрії робити нічого. З цих основних тотожностей випливають ще три допоміжні тотожності:

Відразу попереджаю, що останні три формули швидко випадають з пам’яті. Чомусь.) Можна, звичайно, вивести ці формули з перших трьох. Але, у скрутну хвилину… Самі розумієте.)

У стандартних завданнях, типу тих, що наведені нижче, є спосіб обійтися без цих формул, що незапам’ятовуються. І різко зменшити помилки
щодо забудькуватості, та й у обчисленнях теж. Цей практичний прийом – у Розділі 555, урок “Зв’язок між тригонометричними функціями одного кута”.

У яких завданнях та як використовуються основні тригонометричні тотожності? Найпопулярніше завдання – знайти якусь функцію кута, якщо дана інша. У ЄДІ таке завдання рік у рік присутній.) Наприклад:

Знайти значення sinx, якщо x – гострий кут, а cosx=0,8.

Завдання майже елементарне. Шукаємо формулу, де є синус та косинус. Ось вона ця формула:

Підставляємо сюди відому величину, а саме 0,8 замість косинуса:

Ось практично і все. Ми вирахували квадрат синуса, залишилося витягти квадратний корінь і готова відповідь! Корінь із 0,36 буде 0,6.

Завдання майже елементарне. Але слово “майже” тут не дарма стоїть … Справа в тому, що відповідь sinx = – 0,6 теж підходить … (-0,6) 2 теж 0,36 буде.

Дві різні відповіді виходять. А потрібний один. Другий – неправильний. Як бути!? Так, як завжди.) Уважно прочитати завдання. Там навіщось написано: … якщо х – гострий кут…
А в завданнях кожне слово має сенс, так… Ця фраза – і є додаткова інформація до вирішення.

Гострий кут – це менший кут 90°. А у таких кутів усі
тригонометричні функції – і синус, і косинус, і тангенс із котангенсом – позитивні.
Тобто. негативну відповідь ми тут просто відкидаємо. Маємо право.

Власне, восьмикласникам такі тонкощі не потрібні. Вони працюють тільки з прямокутними трикутниками, де кути можуть бути лише гострими. І не знають, щасливі, що бувають і негативні кути, і кути в 1000°… І всі ці кошмарні кути мають свої тригонометричні функції і з плюсом, і з мінусом…

А ось старшокласникам без урахування знаку – ніяк. Багато знань множать печалі, так…) І для правильного вирішення завдання обов’язково присутня додаткова інформація (якщо вона необхідна). Наприклад, вона може бути дана таким записом:

Або якось інакше. У прикладах нижче побачите.) Для вирішення таких прикладів потрібно знати, в яку чверть потрапляє заданий кут х і який знак має потрібна функція тригонометрична в цій чверті.

Ці ази тригонометрії розглянуті в уроках що таке тригонометричний коло, відлік кутів на цьому колі, радіальна міра кута. Іноді потрібно знати і таблицю синусів косінусів тангенсів та котангенсів.

Отже, відзначимо найголовніше:

1. Запам’ятайте визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Дуже знадобиться.

2. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс та котангенс міцно пов’язані з кутами. Знаємо одне – отже, знаємо та інше.

3. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс та котангенс одного кута пов’язані між собою основними тригонометричними тотожностями. Знаємо одну функцію – отже, можемо (за наявності необхідної додаткової інформації) вирахувати решту.

А тепер вирішуємо, як водиться. Спочатку завдання в обсязі 8-го класу. Але й старшокласникам теж можна…)

1. Обчислити значення tgА якщо ctgА = 0,4.

2. β – кут у прямокутному трикутнику. Знайти значення tgβ якщо sinβ = 12/13.

3. Визначити синус гострого кута х, якщо tgх = 4/3.

4. Знайти значення виразу:

6sin 2 5° – 3 + 6cos 2 5°

5. Знайти значення виразу:

(1-cosx)(1+cosx), якщо sinх = 0,3

Відповіді (через точку з комою, безладно):

Вийшло? Чудово! Восьмикласники можуть вже пройти за своїми п’ятірками.

Чи не все вийшло? Завдання 2 та 3 якось не дуже…? Не біда! Є один гарний прийом для таких завдань. Все вирішується практично взагалі без формул! І, отже, без помилок. Цей прийом в уроці: “Зв’язок між тригонометричними функціями одного кута” у Розділі 555 описаний. Там же розібрано й решту завдань.

Це були завдання типу ЄДІ, але у урізаному варіанті. ЄДІ – лайт). А зараз майже такі ж завдання, але у повноцінному егешному вигляді. Для обтяжених знаннями старшокласників.)

6. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13, а

7. Визначити sinх, якщо tgх = 4/3, а х належить інтервалу (-540 °; – 450 °).

8. Знайти значення виразу sinβ · cosβ, якщо ctgβ = 1.

Тут у задачі 6 кут заданий якось не дуже однозначно … А в задачі 8 взагалі не заданий! Це спеціально). Додаткова інформація не тільки із завдання береться, а й з голови. Зате вже якщо вирішили – одне вірне завдання гарантоване!

А як не вирішили? Гм … Ну, тут Розділ 555 допоможе. Там розв’язання всіх цих завдань докладно розписано, важко не розібратися.

У цьому вся уроці дано дуже обмежене поняття тригонометричних функцій. У межах 8 класу. А у старших залишаються питання.

Наприклад, якщо кут х
(дивіться другу картинку на цій сторінці) – зробити тупим! Трикутник взагалі розвалиться! І як бути? Ні катета не буде, ні гіпотенузи… Зник синус…

Якби давні люди не знайшли вихід із цього становища, не було б у нас зараз ні мобільних телефонів, ні TV, ні електрики. Так Так! Теоретична основа цих речей без тригонометричних функцій – нуль без палички. Але давні люди не підвели. Як вони викрутилися – у наступному уроці.

Якщо Вам подобається цей сайт…

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Поняття синуса, косинуса, тангенса та котангенса є основними категоріями тригонометрії – розділу математики, і нерозривно пов’язані з визначенням кута. Володіння цією математичною наукою вимагає запам’ятовування та розуміння формул та теорем, а також розвиненого просторового мислення. Саме тому у школярів та студентів тригонометричні обчислення нерідко спричиняють труднощі. Щоб подолати їх, слід докладніше ознайомитися з тригонометричними функціями та формулами.

Поняття у тригонометрії

Щоб розібратися в базових поняттях тригонометрії, слід спочатку визначитися з тим, що таке прямокутний трикутник і кут в колі, і чому саме з ними пов’язані всі тригонометричні обчислення. Трикутник, у якому один із кутів має величину 90 градусів, є прямокутним. Історично ця фігура часто використовувалася людьми в архітектурі, навігації, мистецтві, астрономії. Відповідно, вивчаючи та аналізуючи властивості цієї фігури, люди прийшли до обчислення відповідних співвідношень її параметрів.

Основні категорії, пов’язані з прямокутними трикутниками – гіпотенуза та катети. Гіпотенуза – сторона трикутника, що лежить проти прямого кута. Катети, відповідно, це решта двох сторін. Сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 градусів.

Сферична тригонометрія – розділ тригонометрії, який не вивчається в школі, однак у прикладних науках на кшталт астрономії та геодезії, вчені користуються саме ним. Особливість трикутника у сферичній тригонометрії в тому, що він завжди має суму кутів понад 180 градусів.

Кути трикутника

У прямокутному трикутнику синусом кута є відношення катета, що протилежить шуканому куту, до гіпотенузи трикутника. Відповідно, косинус – це відношення прилеглого катета та гіпотенузи. Обидва ці значення завжди мають величину менше одиниці, оскільки гіпотенуза завжди довша за катет.

Тангенс кута – величина, що дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета шуканого кута, або синуса до косинусу. Котангенс, своєю чергою, це ставлення прилеглого катета шуканого кута до протилежного кактету. Котангенс кута можна отримати, розділивши одиницю на значення тангенса.

Одиничне коло

Одиничне коло в геометрії – коло, радіус якого дорівнює одиниці. Таке коло будується в декартовій системі координат, при цьому центр кола збігається з точкою початку координат, а початкове положення вектора радіусу визначено за позитивним напрямком осі Х (осі абсцис). Кожна точка кола має дві координати: ХХ та YY, тобто координати абсцис та ординат. Вибравши на колі будь-яку точку в площині ХХ, і опустивши з неї перпендикуляр на вісь абсцис, отримуємо прямокутний трикутник, утворений радіусом до обраної точки (позначимо її буквою С), перпендикуляром, проведеним до осі Х (точка перетину позначається буквою G), а відрізок осі абсцис між початком координат (точка позначена буквою А) та точкою перетину G. Отриманий трикутник АСG — прямокутний трикутник, вписаний у коло, де AG — гіпотенуза, а АС та GC — катети. Кут між радіусом кола АС та відрізком осі абсцис з позначенням AG, визначимо як α (альфа). Так, cos = AG/AC. Враховуючи, що АС – це радіус одиничного кола, і він дорівнює одиниці, вийде, що cos α = AG. Аналогічно sin α=CG.

Крім того, знаючи ці дані, можна визначити координату точки С на колі, оскільки cos α=AG, а sin α=CG, отже, точка має задані координати (cos α;sin α). Знаючи, що тангенс дорівнює відношенню синуса до косинусу, можна визначити, що tg = y/х, а ctg = х/y. Розглядаючи кути у негативній системі координат, можна розрахувати, що значення синуса та косинуса деяких кутів можуть бути негативними.

Обчислення та основні формули

Значення тригонометричних функцій

Розглянувши сутність тригонометричних функцій через одиничне коло, можна вивести значення цих функцій деяких кутів. Значення перераховані у таблиці нижче.

Найпростіші тригонометричні тотожності

Рівняння, у яких під знаком тригонометричної функції є невідоме значення, називаються тригонометричними. Тотожності зі значенням sin х = α, k — будь-яке ціле число:

1. sin х = 0, х = πk.
2. 2. sin х = 1, х = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin х = а, | > 1, немає рішень.
5. sin х = а, | ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α + πk.

Тотожності зі значенням cos х = а, де k – будь-яке ціле число:

1. cos х = 0, х = π/2 + πk.
2. cos х = 1, х = 2πk.
3. cos х = -1, х = π + 2πk.
4. cos х = а, | > 1, немає рішень.
5. cos х = а, | ≤ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Тотожності зі значенням tg х = а, де k – будь-яке ціле число:

Тотожності зі значенням ctg х = а, де k – будь-яке ціле число:

Формули приведення

Ця категорія постійних формул позначає методи, за допомогою яких можна перейти від тригонометричних функцій виду до функцій аргументу, тобто навести синус, косинус, тангенс і котангенс кута будь-якого значення до відповідних показників кута інтервалу від 0 до 90 градусів для більшої зручності обчислень.

Формули приведення функцій для синуса кута виглядають таким чином:

• sin(900 – α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 – α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 – α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 – α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

• cos(900 – α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 – α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 – α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 – α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Використання вищезазначених формул можливе за дотримання двох правил. По-перше, якщо кут можна представити як значення (π/2±a) або (3π/2±a), значення функції змінюється:

Значення функції залишається незмінним, якщо кут може бути представлений як (π±a) або (2π±a).

По-друге, знак наведеної функції не змінюється: якщо він спочатку був позитивний, таким і залишається. Аналогічно із негативними функціями.

Формули додавання

Ці формули виражають величини синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу суми та різниці двох кутів повороту через їх тригонометричні функції. Зазвичай кути позначаються як і β.

Формули мають такий вигляд:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tg(α±β) = (tgα±tgβ)/(1∓tgα*tgβ).
4. ctg(α±β) = (-1±ctgα*ctgβ)/(ctgα±ctgβ).

Ці формули справедливі будь-яких величин кутів α і β.

Формули подвійного та потрійного кута

Тригонометричні формули подвійного та потрійного кута — це формули, які пов’язують функції кутів 2α та 3α відповідно, із тригонометричними функціями кута α. Виводяться з формул додавання:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 – 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα/(1 – tg^2α).
4. sin3α = 3sinα – 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α – 3cosα.
6. tg3α = (3tgα – tg^3α) / (1-tg^2α).

Перехід від суми до твору

Враховуючи, що 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(xy), спростивши цю формулу, отримуємо тотожність sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогічно sinα – sinβ = 2sin(α – β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα – cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α – β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα – tgβ = sin(α – β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓α) = √2cos(π/4±α).

Перехід від твору до суми

Ці формули випливають з тотожностей переходу суми до твір:

Формули зниження ступеня

У цих тотожностях квадратний і кубічний ступінь синуса і косинуса можна виразити через синус і косинус першого ступеня кратного кута:

• sin^2 α = (1 – cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα – sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 – 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Універсальна підстановка

Формули універсальної тригонометричної підстановки виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tg^2 x/2), при цьому х = π + 2πn;
• cos x = (1 – tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), де х = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 – tg^2 x/2), де х = π + 2πn;
• ctg x = (1 – tg^2 x/2) / (2tgx/2), при цьому х = π + 2πn.

Приватні випадки

Окремі випадки найпростіших тригонометричних рівнянь наведені нижче (k – будь-яке ціле число).

Теореми

Теорема синусів

Існує два варіанти теореми – простий та розширений. Проста теорема синусів: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При цьому, a, b, c — сторони трикутника, і α, β, γ — відповідно кути, що протилежать.

Розширена теорема синусів для довільного трикутника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. У цьому тотожності R позначає радіус кола, який вписаний заданий трикутник.

Теорема косінусів

Тотожність відображається так: a^2 = b^2 + c^2 — 2*b*c*cos α. У формулі a, b, c – сторони трикутника, і α – кут, що протилежить стороні а.

Теорема тангенсів

Формула виражає зв’язок між тангенсами двох кутів і довжиною сторін, що їм протилежні. Сторони позначені як a, b, c, а відповідні протилежні кути – α, β, γ. Формула теореми тангенсів: (a – b) / (a ​​+ b) = tg ((α – β) / 2) / tg ((α + β) / 2).

Теорема котангенсів

Зв’язує радіус вписаного в трикутник кола з довжиною його сторін. Якщо a, b, c — сторони трикутника, і А, В, С, відповідно, кути, що протилежать їм, r — радіус вписаного кола, і p — напівпериметр трикутника, справедливі такі тотожності:

Прикладне застосування

Тригонометрія – не лише теоретична наука, пов’язана з математичними формулами. Її властивостями, теоремами і правилами користуються практично різні галузі людської діяльності — астрономія, повітряна і морська навігація, теорія музики, геодезія, хімія, акустика, оптика, електроніка, архітектура, економіка, машинобудування, вимірювальні роботи, комп’ютерна графіка, картографія, океанографія, і багато інших.

Синус, косинус, тангенс і котангенс – основні поняття тригонометрії, за допомогою яких математично можна виразити співвідношення між кутами та довжинами сторін у трикутнику, і знайти шукані величини через тотожність, теореми та правила.